Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (стр. 1 )

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

1)  Основные понятия и определения

2)  Общее и частное решения дифференциального уравнения

3)  Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

4)  Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение первой степени относительно функции у(х) и её производных: , где b0 – bn – коэффициенты уравнения (могут быть как функциями, зависящими от х, так и постоянными, то есть константами).

Однородные линейные уравнения, если справа в уравнении q(x) = 0.

Неоднородные линейные уравнения, если справа в уравнении q(x) ≠ 0.

Разделив уравнение на b0 ≠ 0 и обозначив , представим его в виде приведенного уравнения:

 

Теорема 1. Если для однородного уравнения:

 

функции у1 = у1(х), у2 = у2(х),……., уn = уn(х) являются частными решениями, то решением этого уравнения является также функция

у = с1 у1(х) +с2 у2(х)+…+сn yn(х), где с1 – сn – произвольные константы.

Для доказательства достаточно подставить данную функцию и ее производные в уравнение:(с1 у1(х)+с2 у2(х)+…+сn yn(х))(n)+a1(с1 у1(х)+ с2 у2(х)+…+сn yn(х))(n-1 )+..

.....+ an-1( с1 у1(х) + с2 у2(х)+…+ сn yn(х))΄ + an(с1 у1(х) + с2 у2(х)+…+ сn yn(х)) =

c1(y1(n)+a1y1(n-1)+….+any1)+c2(y2(n)+a1y2(n-1)+….+any2)+..+cn(yn(n)+a1yn(n-1)+….+any2)=

c1×0 + c2×0 +…+ cn×0 = 0, так как у1(х), у2(х),…, уn(х) – решения уравнения и, следовательно выражения в скобках равны 0.

Заметим, что уравнение n-го порядка имеет решением сумму n функций и n констант. Может ли эта функция у = с1 у1(х) +с2 у2(х)+…+сn yn(х) являться общим решением дифференциального уравнения n-го порядка?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим приведенное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка однородное: , имеющее решением функцию у = с1 у1(х) +с2 у2(х) и сформулируем условия при которых оно является общим решением.

Теорема 2 (структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка).

Если два частных решения у1 = у1(х) и у2 = у2(х) образуют на интервале непрерывности функций (а, в) фундаментальную систему, то общим решением

уравнения является функция уоб = с1 у1(х) +с2 у2(х).

Фундаментальная система решений уравнения – это совокупность любых двух линейно независимых на интервале (а, в) частных решений у1(х) и у2(х) уравнения.

Функции у1(х) и у2(х) линейно зависимы тогда и только тогда, когда их линейная комбинация с1 у1(х) +с2 у2(х) равна 0 ( с1 у1(х) +с2 у2(х)= 0) при хотя бы одной константе не равной нулю с1 ≠ 0 или с2 ≠ 0 и линейно независимы при с1 = с2=0. Очевидно, у1(х) и у2(х) линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, то есть , или у1 = λу2 для всех х Î (а, в).

Например, у1 = 3ех и у2 = ех линейно зависимы, так как их отношение , а у1 = 3е5х и у2 = ех линейно независимы, так как их отношение .

Для линейного однородного уравнения n-го порядка

решение у = с1 у1(х) +с2 у2(х)+…+сn yn(х) будет общим, а функции у1(х), у2(х),…, уn(х) будут составлять фундаментальную систему решений (ФСР), если они все будут линейно независимы. Очевидно, проверка на линейную зависимость найденных функций представляется трудоемкой.

Инструментом проверки функций на линейную зависимость (независимость) является определитель Вронского (вронскиан):

ü  для двух дифференцируемых функций ;

ü  для n дифференцируемых функций .

Из определения линейной зависимости (независимости) функций на

интервале х Î (а, в), следует, что

ü  для линейно зависимых функций W(х) = 0;

ü  для линейно независимых функций W(х) ≠ 0.

Например, у1 = 3ех и у2 = ех линейно зависимы, так как их отношение и , а у1 = 3е5х и у2 = ех линейно независимы, так как их отношение и .

Пример 1. Показать, что функции у1 = х, у2 = cosх и у3 = sinx образуют ФСР некоторого линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка и составить это уравнение.

Для проверки линейной независимости функций составим определитель Вронского: .

Вычисление определителя проводилось разложением по первому столбцу. Так как определитель не равен 0, то заданные функции являются линейно независимыми и образуют ФСР некоторого линейного дифференциального

 

уравнения третьего порядка: (*).

Чтобы для данной ФСР составить уравнение, небходимо найти а1(х), а2(х), а3(х).

Для этого подставим в уравнение (*) каждую из функций:

у1 = х, у2 = cosх и у3 = sinx и решим полученную систему: Система имеет 3 неизвестных: а1, а2, а3.

Во втором и третьем уравнении свободные члены перенесем в правую часть уравнений и решим систему по формулам Крамера: ; ;

. Итак, решим полученную систему: : ,

, , . Вычислим , , и

 

подставим их в уравнение (*): , домножив на х,

имеем линейное дифференциальное уравнение 3-го порядка с переменными

 

коэффициентами .

Заметим, что если не сложно составить по имеющейся ФСР дифференциальное уравнение, то для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами найти ФСР связано с определенными трудностями.

Далее рассмотрим широко применяемые в приложениях дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых разработаны методы нахождения ФСР как для однородных так и для неоднородных уравнений.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

, имеющее решением функцию у = с1 у1(х) +с2 у2(х).

Общее решение данного однородного уравнения будем искать в виде: ≠ 0, где r – const. Тогда , и подставим в уравнение и вынесем общий множитель еrx за скобку: . Отметим, что только , причем квадратное уравнение, называемое ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ всегда имеет два корня: действительные (различные или кратные), либо комплексные (Таблица 1).