Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (стр. 4 )

, , .

Имеем тождество:

Для вычисления коэффициентов из полученного тождества используем утверждение “многочлены равны, если равны коэффициенты при переменных в одинаковых степенях и равны свободные члены”:

И общее решение

Найдем решение неоднородного уравнения для правой части б)

f(x) = 3e2x Þ Þ .

По виду f(x) = 3e2x составим - частное решение с неопределенным коэффициентом. Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость): . Все три функции линейно независимы. Проверим с помощью определителя Вронского . Кроме того заметим, что корни характеристического уравнения r1 = 0, r2 = -1 и a = 2 в f(x) = 3e2x ( ) – действительные различные числа (не кратные и не требуется домножать на х).

Далее ищем неопределенный коэффициент, подставив в уравнение

, , .

Имеем тождество: . Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, имеем 6А = 3 и .

Тогда , а .

Найдем решение неоднородного уравнения для правой части в)

f(x) = 3e-x Þ Þ .

По виду f(x) = 3e-x составим - частное решение с неопределенным коэффициентом. Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость): . Проверим с помощью определителя Вронского линейную зависимость (независимость) функций , так как 2 и 3 столбцы пропорциональны. Кроме того заметим, что корни характеристического уравнения r1 = 0, r2 = -1 и a = -1 в f(x) = 3e-x ( ) – действительные, но r2 и a кратные и требуется домножить на х: .

Далее ищем неопределенный коэффициент, подставив в уравнение

, , .

Имеем тождество: . Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, имеем -А = 3 и A = -3.

Тогда , а .

Найдем решение неоднородного уравнения для правой части г)

f(x) = 2sinx Þ Þ .

По виду f(x) = 2sinx составим - частное решение с неопределенным коэффициентом (содержит оба слагаемые, соответствующие комплексным корням ±i). Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость): . Так как все функции разных классов, то определитель Вронского 4-го порядка(проверьте!).

Далее ищем неопределенный коэффициент, подставив в уравнение

, , .

Имеем тождество: . Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, имеем -А = 3 и A = -3.

и ,

а общее решение .

Данный метод применим и для уравнений n-го порядка (n > 2), как с переменными, так и с постоянными коэффициентами аi. где :

 

Общее решение уравнения: , где

находится при решении соответствующего однородного уравнения:

 

а , если правая часть уравнения - функция f(x) специального вида – методом неопределенных коэффициентов, то есть подбором частного решения для уравнения

Замечание. 1) Обращать внимание на составление решений в случае кратных корней.

2) Для решения задачи Коши, содержащей систему начальных условий, количество которых равно порядку уравнения, необходимо составить систему линейных уравнений относительно искомых констант сi. где .

Например. Найти частное решение дифференциальное уравнение

у˝ - у΄ - 2у = 0 при

Составим характеристическое уравнение: и найдем его корни:

, - действительные различные.

 

Составим общее решение: .

Найдем частное решение:

Главным критерием линейной независимости всех частных решений ФСР уравнения является W(x ) ≠ 0 определителя Вронского W(x).

Но для составления частного решения , зависящего от правой части уравнения f(x), приведем еще и таблицу (Таблица 2), составленную из необходимости линейной независимости всех частных решений ФСР неоднородного линейного дифференциального уравнения высшего порядка.

Таблица 2

№	Вид правой части уравнения f(x)	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
1		1.нет кратных корней и 2. a равно корню кратности s	1. - многочлен порядка m с неопределенными коэффициентами 2.
1.1		1. r = 0 не является корнем 2. r = 0 корень кратности s	1. 2.
2		1. a ± bI - не являются корнями 2. a ± bI – корни кратности s	1. k = max(m, n) 2.
2.1		1. ± bI - не являются корнями 2. ± bI – корни кратности s	1. 2.

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Найдем общее решение (ФСР) уравнения 6-го порядка следуя алгоритму.

Шаг 1. Решим однородное уравнение .

1. Составим характеристическое уравнение r6 + 2r5 + r4 = 0.

2. Решим характеристическое уравнение r4(r2+2r +1)= 0 Þ r4(r+1)2= 0

r1 = r2 = r3 = r4 = 0 - действительные корни кратности s =4;

r5 = r6 = -1 – действительные корни кратности s =2.

3. Составим уод: .

Шаг 2. Найдем решение неоднородного уравнения .

Правая часть уравнения Þ f(x) = e-2x Þ

По виду f(x) = e-2x составим - частное решение с неопределенным коэффициентом. Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость): .

Исследуя линейную зависимость с помощью определителя Вронского размером 7 ´ 7 (W(x)≠0) или используя таблицу 2, делаем вывод, что

линейно независим со всеми решениями уод.

По виду f(x) =e-x составим - частное решение с неопределенным коэффициентом. Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость): .

Далее найдем неопределенный коэффициент, подставив в уравнение , , , , , , , Þ .

Из полученного тождества, сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, имеем 16А = 1 и A = Частное решение, зависящее от правой части: .

Общее решение уравнения: .

Замечание.

1) Если f(x) = e-x, то , так как r5 = r6 = -1 и a = -1 из f(x) = e-х.

2) Если f(x) = х2 + 1, то , так как r1 = r2 = r3 = r4 = 0 - действительные корни кратности s = 4 (таблица2, п.1.1).