Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (стр. 3 )

Функции с1(х) и с2(х) найдем, решая систему линейных алгебраических уравнений, содержащую два уравнения и два неизвестных:

. Система имеет единственное решение, так как главный определитель системы является определителем Вронского для линейно независимых функций – фундаментальной системы решений однородного уравнения. Решением системы являются производные от искомых функций: с΄1(х) и с΄2(х), что позволяет интегрируя их найти с1(х) и с2(х) с точностью до константы. Таким образом функция уоб = при найденных с1(х) и с2(х) является общим решением уравнения

Замечание. Данный метод применим и для уравнений с переменными коэффициентами, а так же для уравнений более высокого порядка.

Алгоритм

Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

2-го порядкас постоянными коэффициентами

Шаг 1. Решить однородное уравнение , соответствующее заданному неоднородному.

1. Составить характеристическое уравнение: r2 + pr + q=0.

2. Найти корни характеристического уравнения: r1 и r2.

3. Составить решение однородного уравнения уод = , соответствующее полученным

корням.

Шаг 2. Найти уоб = методом вариации произвольных постоянных.

1. Записать по полученному уод общее решение неоднородного уравнения:

уоб = с переменными константами (функциями).

2. Подставить данное общее решение в уравнение .

3. Найти варьируемые функции с1(х) и с2(х).

4. Подставить найденные с точностью до const функции с1(х) и с2(х) в общее решение.

Пример 3. Найти общее решение для уравнения .

Найдем общее решение (ФСР) уравнения следуя алгоритму.

Шаг 1. Решим однородное уравнение .

1. Составим характеристическое уравнение r2 + 1 = 0.

2. Решим характеристическое уравнение r2 = -1, r1,2 = ± i - комплексные корни с действительной частью равной 0 и мнимой частью равной 1 (0 ± 1 i).

3. Составим уод = .

Шаг 2. Найдем решение неоднородного уравнения .

1. По виду решения однородного уравнения составим общее решение:

уоб = .

2. Подставим уоб = и у˝об в .

Для этого найдем

и положим (1).

При этом условии найдем у ˝об от

.

Подставим в и приведем подобные:

(2).

3. Найти с1(х) и с2(х). Составим систему из уравнений (1) и (2):

, которую решим по формулам Крамера.

; ;

Þ ; .

Тогда ,

.

4. Записываем общее решение, подставив с1(х) и с2(х) в

уоб = Þ

уоб =()

Замечание. Если раскрыть скобки и так перегруппировать функции, чтобы можно было выделить в общем решении уравнения уоб =: , то

уоб = Þ

уоб =, где - частное решение, зависящее от правой части неоднородного уравнения,

уод = - решение однородного уравнения, соответствующего, заданному неоднородному.

Данный метод универсальный, но при решении уравнения 3-го порядка появится необходимость для нахождения с1(х), с2(х) и с3(х) решать алгебраическую систему 3-х уравнений, а при решении уравнения n-го порядка – систему n уравнений, что достаточно трудоемко.

В некоторых случаях, когда справа в уравнении f(x) – функция специального вида, можно использовать для нахождения частного решения МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеющее решением функцию у = , где - частное решение, зависящее от функции, стоящей в уравнении справа.

Если в уравнении f(x) – функция “специального вида”:

ü  f(x) = Pn(x)eax (при a = 0 Þ f(x) = Pn(x))

ü  f(x) = eax( Pn(x)cosbx +Qm(x)sinbx), то частное решение – можно

подобрать, записав его ожидаемую форму с НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Затем это частное решение (), являющееся решением уравнения, подставляют в уравнение и из полученного тождества вычисляют НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ.

Исходя из линейной независимости всех частных решений уравнения: , составляющих его общее решение уоб =,

следует, что определитель Вронского не должен равняться 0 . Это главное правило для составления частного решения с неопределенными коэффициентами. Рассмотрим, как это правило применить для составления ФСР дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

для а) f(x) = x2 + 1; б) f(x) = 3e2x; в) f(x) = 3e-x; г) f(x) = 2sinx.

Найдем общее решение (ФСР) уравнения следуя алгоритму.

Шаг 1. Решим однородное уравнение .

1. Составим характеристическое уравнение r2 + r = 0.

2. Решим характеристическое уравнение r(r+1)= 0 Þ r1 = 0, r2 = -1 – действительные различные корни.

3. Составим уод: .

Шаг 2. Найдем решение неоднородного уравнения для правой части а)

f(x) = x2 + 1 - многочлен 2-го порядка Þ.

По виду f(x) = x2 + 1 составим - частное решение (многочлен 2-го порядка в общем виде с неопределенными коэффициентами). Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость) с

Заметим, что С и с1 линейно зависимы, так как:

1) их отношение равно const,

2) подставленные в определитель Вронского размером 5´5 (количество

слагаемых в общем решении:

так как в столбцах стоят производные от каждой из 5 функций и столбцы,

с С и с1 будут пропорциональны. Тогда С необходимо домножить на х (Таблица 1, п.2): , но тогда Вх и Сх – линейно зависимы – Вх необходимо домножить на х: , но тогда Вх2 и Ах2 – линейно зависимы – Ах2 необходимо домножить на х: .

Далее ищем неопределенные коэффициенты, подставив в уравнение