Вопросы к экзамену по курсу Аналитическая механика

Движение в центральном поле.

Задача Кеплера. Дополнительный интеграл движения в задаче  Кеплера.

Сечение рассеяния. Формула Резерфорда.

Уравнения Лагранжа для нерелятивистской частицы в потенциальном поле. Обобщенные координаты и импульсы.

Функция Лагранжа для частицы в электромагнитном поле, для релятивистской частицы.

Принцип Гамильтона (принцип наименьшего действия). Ковариантность уравнений Лагранжа.

Циклические координаты. Энергия в лагранжевом подходе.

Теорема Нетер. Законы сохранения.

Теорема о вириале.

Линейные колебания. Нормальные координаты. Ортогональность нормальных колебаний. Случай вырождения частот.

Вынужденные колебания; резонансы.

Колебания линейных цепочек. Стоячие и бегущие волны.

Нелинейные колебания. Ангармонические поправки. Понятие о нелинейных резонансах.

Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Функция Гамильтона для частицы в электромагнитном поле.

Канонические преобразования. Необходимый и достаточный признак каноничности преобразований. Примеры канонических преобразований: поворот на фазовой плоскости; переменные a  и a* для гармонического осциллятора.

Действие вдоль истинной траектории как функция начальных и конечных координат и времени

Сохранение фазового объема при канонических преобразованиях. Теорема Лиувилля.

Уравнение Гамильтона-Якоби.

Кинетическая энергия твердого тела; тензор моментов инерции. Момент импульса твердого тела.

Свободное движение \шарового и  симметрического волчка.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Адиабатические инварианты.

Примерный план семинарских занятий

(все ссылки даются из списка литературы, см. раздел 7 настоящей Программы)

Введение. Одномерное движение, центральное поле. (3,5 семинара)

Задачи: 1.1—1.3 из [3]; 

1.11а) из [4];

Вычислить Кеплеров эллипс и период движения на нем [1 § 12].

2.5, 2.8  из [4];

Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли. От него, с относительной скоростью v = 20 м/сек, в плоскости, перпендикулярной направлению движения, отделяется тело, масса которого пренебрежимо мала. Найти ориентацию орбиты тела и ее параметры для трех направлений отделения: вверх, вниз, перпендикулярно плоскости орбиты.

6.1—6.4 из [3];

Движение по гиперболе и формула Резерфорда из [1, § 19].

Уравнения Лагранжа, законы сохранения. (2,5 семинара)

2.1. Что такое qi и pi, зачем нужна L, циклические координаты.

Найти L, E, pi для системы.- см. 12.1 из [3]

2.2. Найти   и изобразить  траекторию для системы – см. 12.2  из [3]

Ответ: при M = 3m частота 


Задача 4 из [1, § 5].

4.13а из [4]

Задача 3з) из [1, § 9].

Теорема Нётер и интеграл движения в поле диполя – см.  § 14.3;

4.15а, б из [4].

Линейные колебания. (3,5 семинара)

Задачи: 6.1,

m<<M;

6.2а,

Найти нормальные колебания грузиков на первом и втором кольцах и сравнить предельные переходы M→m к третьему.

6.18, 6.31, 6.21, зад. 1 из [1, §24].

Линейные цепочки. Нелинейные колебания. Параметрический резонанс. (3 семинара)

Задачи: 7.2, 7.4а, §29.2 из [3],  зад. 2 из [1, §27.


Уравнения Гамильтона, скобки Пуассона. (2 семинара)

Задачи: 10.3, 10.6а, 10.4, 10.7, гамильтониан в сферических координатах; §35.3 и задача 35.3 из [3],  10.14а, б, 10.17, 10.22.

  Канонические преобразования. Теорема Лиувилля (2 семинара)

Задачи: 11.4, 11.16а, б, 11.17,  11.25а, б,  §38.1 из [3],  11.24а–д,

5. Образовательные технологии

Всюду,  где это допускается уровнем знаний и подготовки студентов, материал лекционного курса  увязывается с современными исследованиями. Там, где есть возможность достаточно просто провести аналогии или сопоставления с электродинамикой, квантовой механикой, статистической механикой, это делается.

В теории линейных колебаний мы рассматриваем простые примеры цепочек частиц, соединённых пружинками и обращаем внимание на то, что это -- простейшие модели, используемые в теории твёрдого тела. Движение атомов в твёрдом теле описывается квантовой механикой. Однако, возникающие при решении задач о классических цепочках  понятия оказываются весьма полезными и в квантовой теории. Электрические аналоги таких цепочек --- искусственные линии,

состоящие из конденсаторов и индуктивностей --- находят применение в радиотехнике.

Довольно подробно в курсе рассмотрено как выглядит функция Лагранжа и функция Гамильтона для  движение заряженной частицы в электромагнитном поле, детально разобран  частный случай решения уравнений Гамильтона в задаче о движении заряженной частицы в постоянном и однородном магнитном поле.  Этот пример призван существенно облегчить усвоения материала об уровнях Ландау в квантовой механике и о диамагнетизме электронного газа в статистической физики.

Рассказывая о теореме Лиувилля, мы увязываем этот материал с вопросом о движении пучка частиц в накопительных кольцах. При разборе адиабатических инвариантов рассматриваются примеры, относящиеся к магнитным ловушкам.

       Все семинарские занятия проводятся в интерактивной форме.  Помимо семинаров, существует система заданий: каждый студент должен самостоятельно решить примерно 15 задач. Задание сдается в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время (прием заданий).

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Домашние задания по курсу «Аналитическая механика»

Задание № 1

(сдать до 15 марта)

1. Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли. От него с относительной скоростью v = 20 м/сек, направленной вдоль направления движения корабля, отделяется тело, масса которого пренебрежимо мала. Найти орбиту тела и её параметры.

2. Найти дифференциальное сечение рассеяния в поле при   и при быстрых частиц ().  Чему равно полное сечение рассеяния? 

3. Частица движется в поле U(r)= б r7 по траектории, близкой к окружности (т. е. испытывая малые колебания по радиусу). Найти отношение частоты малых радиальных колебаний к средней угловой скорости и изобразить траекторию.

4. Исследовать качественно движение заряженной частицы в магнитном поле, заданном векторным потенциалом (в цилиндрических координатах)

, 

Рассмотреть только случай pц = 0.

Задание № 2 (сдать до 30 апреля)

5. Определить нормальные колебания системы четырех частиц, соединенных одинаковыми пружинками и могущих двигаться только вдоль оси AB:


6. Найти движение системы трёх частиц на гладком кольце, если в начальный момент частицы находятся  в положении равновесия, а их скорости равны: v1=

=-v2=v3 =v0.

7. Рассматриваются малые колебания 

системы N маятников, связанных пружинками.

  а) Для случая N=2 найти точную функцию Лагранжа для обобщенных координат где - угол отклонения первого (второго) маятника от вертикали в плоскости рисунка. Провести разложение этой функции Лагранжа до второго порядка и найти нормальные колебания системы.

  б) Найти нормальные колебания системы N маятников.

Все маятники и пружинки одинаковы; масса маятника m, жесткость пружинки k, ускорение силы тяжести равно g.

8. а)  Найти скобки Пуассона {p x 2, Mz }, {py2, Mz }, {pz2, Mz }.

  б) Задан тензор вида Tik(r, p) = f1 xi pk+f2 pi xk+f3 xi xk + f4 pi pk, где все fi – функции от r, p, инвариантные относительно поворота пространства. Выразить скобку Пуассона {T xy, M z } через компоненты этого же тензора.

9. Показать, что преобразование

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4