, 

является каноническим и найти его производящую функцию в переменных q, Q.

10. Найти сечение падения в центр поля

.

Задание № 3 (сдать до 30 мая)

11. Малые колебания связанных осцилляторов описываются гамильтонианом

.

Выбрать параметры a, b и c в каноническом преобразовании с производящей функцией

так, чтобы в новых переменных система сводилась к двум независимым осцилляторам, если в новом гамильтониане пренебречь слагаемыми четвертой степени по амплитудам колебаний. Найти x(t) и y(t) с учётом ангармонических поправок.

12. Найти траекторию релятивистской частицы в кулоновском поле  U(r)= - б/r методом Гамильтона-Якоби. Нарисовать приближенный вид траектории Меркурия в поле Солнца с учетом релятивистских поправок.



13. Буква Т подвешена за ножку на нити длиною l в поле тяжести. Она изготовлена из тонкого стержня, длины отрезков совпадают и равны 2a. Найти частоты малых колебаний в плоскости рисунка.

14. Сферический вращающийся спутник радиуса R состыковывается с центром грани покоящегося кубического спутника, длина ребра которого 2R. Однородная сфера (не шар!) имеет массу m. Куб тоже однородный, но сплошной, и масса его также m. Вектор угловой скорости щ сферы перед стыковкой направлен под углом б к оси, соединяющей центры сферы и куба. На какой угол ш повернётся «лицо» получившейся «матрёшки» после того, как ось системы сделает полный поворот и вернётся в исходное положение?


15. Математический маятник совершает малые колебания в поле тяжести с максимальным углом отклонением, равным  .  Во сколько раз изменится величина максимального угла отклонения при медленном увеличении длины маятника в два раза.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

.

Контрольная работа по аналитической механике (вариант 1)


Частица движется в поле

по траектории, близкой к окружности радиуса r0 (то есть, испытывая малые колебания по радиусу вблизи значения r0). Найти – отношение частоты малых радиальных колебаний к средней угловой скорости.

Найти эффективное сечение падения частиц с энергией E на сферу радиуса R, в центре которой расположен источник отталкивающего поля  . Бусинка скользит по гладкой проволоке, имеющей форму эллипса с горизонтальной полуосью a и вертикальной полуосью b. Ускорение силы тяжести g. Найти частоту малых колебаний бусинки. Три частицы, соединённых одинаковыми пружинками, могут двигаться только вдоль прямой AB  (рис. 1). В начальный момент они находятся в положении равновесия, средняя частица имеет скорость v0, а скорости остальных частиц равны нулю. Определить движение каждой из частиц, то есть найти смещения из начальных положений , i=1,2,3.


Одна частица массы m движется по горизонтальной прямой между двумя пружинками жесткости k. Другая частица массы m связана с первой стержнем длины l и может колебаться в вертикальной плоскости, в которой расположены пружинки и вектор ускорения силы тяжести g:

Найти:

1) функцию Лагранжа системы

2) частоты малых собственных колебаний системы.

Контрольная работа по аналитической механике (вариант 2)


Частица движется в поле по траектории, близкой к окружности радиуса r0 (то есть, испытывая малые колебания по радиусу вблизи значения r0) – отношение частоты малых радиальных колебаний к средней угловой скорости.  Изобразить качественно траекторию за один оборот, предполагая для определённости, что при радиус r=rmax. Найти эффективное сечение падения частиц с энергией E на сферу радиуса R, в центре которой расположен источник поля , . Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц на малые углы   в поле

Бусинка скользит по гладкой проволоке, имеющей форму и расположенной в вертикальной плоскости в поле тяжести g=(0,-g). Найти функцию Лагранжа и частоту малых колебаний бусинки. Три частицы, соединённых одинаковыми пружинками, могут двигаться только вдоль прямой AB. В начальный момент крайние частицы сдвинуты на расстояние a от положение равновесия, а скорости всех частиц равны нулю. Определить движение каждой из частиц, то есть найти смещения из равновесных положений , i=1,2,3.

Контрольная работа по аналитической механике (вариант 3)

Частица движется в поле по траектории, близкой к окружности радиуса r0 (то есть,  испытывая малые колебания по радиусу вблизи значения r0). Найти – отношение частоты малых радиальных колебаний к средней угловой скорости.  Изобразить качественно траекторию за один период радиальных колебаний, предполагая для определённости, что при радиус r = rmin и считая . Найти эффективное сечение падения частиц с энергией E на сферу радиуса R, в центре которой расположен источник отталкивающего поля . Бусинка скользит по гладкой проволоке, имеющей форму и расположенной в вертикальной плоскости в поле тяжести g=(0,-g). Найти функцию Лагранжа и частоту малых колебаний бусинки. Три частицы, соединённые одинаковыми пружинками, могут двигаться только вдоль прямой  AB  (рис. 1). В начальный момент они находятся в положении равновесия, средняя частица имеет скорость v0, а скорости остальных частиц  равны  2v0 и -2 v0. Определить движение каждой из частиц, то есть найти смещения из начальных положений , i=1,2,3. Два одинаковых однородных шара, вращающихся с одинаковыми по величине угловыми скоростями , медленно сблизившись, жёстко состыковываются друг с другом. Определить движение образовавшегося тела. Найти, какая часть начальной кинетической энергии переходит в тепло. До состыковки угловая скорость одного шара была направлена вдоль линии центров, а угловая скорость другого шара была направлена перпендикулярно линии центров.

Задачи к экзамену по аналитической механике

Найти закон движения частицы в поле , если её энергия равна нулю. Тот же вопрос для поля . Частица падает в центр поля с конечного расстояния (). Будет ли число оборотов вокруг центра, сделанных при этом частицей, конечным? Будет ли конечным время падения? Найти уравнение траектории для малых r. Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли. От него с относительной скоростью v=160 м/c, направленной к Земле, отделяется тело, масса которого мала по сравнению с массой корабля. Найти ориентацию и параметры орбиты тела. Найти сечение падения частиц в центр поля . Как изменится ответ при изменении знака  ? Определить дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц на абсолютно упругом неподвижном шаре радиуса R. Две частицы массы M и m связаны нитью длины l, причём частица массы M движется по гладкой горизонтальной плоскости, а частица массы m колеблется по вертикали в поле тяжести (см. рисунок ниже). Найти функцию Лагранжа системы. Рассмотреть случай, когда частица массы M движется по траектории, близкой к окружности (т. е. испытывая малые колебания по радиусу). Найти отношение частоты малых радиальных колебаний к средней угловой скорости движения по окружности  и изобразить траекторию при условии M=3m.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4