Найти интегралы движения для частицы в однородном постоянном магнитном поле B, если векторный потенциал задан в виде , . Найти нормальные колебания трёх одинаковых частиц, связанных одинаковыми пружинками и могущих двигаться по кольцу (см. рисунок ниже). Найти свободные колебания этой системы, если в начальный момент смещения частиц вдоль кольца, , а начальные скорости равны нулю.

Найти нормальные колебания линейной симметричной молекулы CO2. Предполагается, что потенциальная энергия молекулы зависит только от расстояний O–C и C–O и от угла OCO. Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой

Вычислить скобки Пуассона:

Здесь Mi и xi – декартовы компоненты вектора момента импульса и смещения, а a и b – постоянные векторы

Вычислить скобки Пуассона:

Здесь pi и xi – декартовы компоненты вектора импульса и смещения, а a и b – постоянные векторы.

Вычислить скобки Пуассона:

Здесь Mi  – декартовы компоненты вектора момента импульса, а a и b – постоянные векторы.

Показать, что каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией

где , представляет собой поворот в фазовом пространстве.


Рассматриваются малые колебания маятника в поле тяжести. Длина маятника медленно увеличивается в 2 раза. Найти, как изменится максимальный угол отклонения маятника. Два одинаковых однородных шара, вращающихся  с  угловыми скоростями и , медленно сблизившись, жёстко состыковываются друг с другом. Определить движение образовавшегося тела. Найти, какая часть начальной кинетической энергии переходит в тепло. До состыковки угловая скорость первого шара была направлена вдоль линии центров, а угловая скорость второго шара была направлена перпендикулярно линии центров. Частица свободно движется в плоскости между горизонталью y=0 и гиперболой . В начальный момент времени y=0, , а угол скорости с горизонталью равен , причем . Найти глубину проникновения частицы по оси x.  Соударения считать упругими. Три упругих шарика с массами m, M и  m могут двигаться вдоль прямой AB, отражаясь от стенок и друг от друга, причем . В начальный момент шарик M расположен посередине отрезка AB и скорость его много меньше скоростей v легких шариков. Найти частоту малых колебаний шарика M. Расстояние AB=2L. Молекула C2H2 находится в однородном переменном электрическом поле E0sin(гt). При скольких значениях г возможна резонансная раскачка колебаний молекулы? Учесть, что электрическое поле действует на оба H с одинаковой силой и  на оба C тоже с одинаковой силой, но направления сил  FH и FC противоположны. Шарик подпрыгивает, упруго отражаясь от горизонтальной площадки. Как будет изменяться его энергия при медленном изменении ускорения силы тяжести g? Найти функцию Гамильтона, если функция Лагранжа равна ()

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В функции Гамильтона учесть только первую релятивистскую поправку.


Найти функцию Гамильтона, если функция Лагранжа равна

Показать, что преобразование

является каноническим  и найти его производящую функцию в переменных p, Q.


Найти среднее значение кинетической энергии частицы в поле , если ее

  энергия E  известна.

Найти сечение рассеяния в поле

быстрых частиц (при ).

Доказать, что в кулоновом поле существует дополнительный интеграл движения

Траектории движения в поле изотропного осциллятора являются замкнутыми линиями. Траектория движения в том же поле с малой добавкой имеет следующий вид:

Найти отношение частот радиальных колебаний к средней угловой скорости.

Найти интегралы движения для частицы, движущейся в поле бегущей волны:

где V – постоянный вектор.

Написать функцию Лагранжа электромеханической системы, изображенной ниже:

Система состоит из LC-контура и груза, подвешенного на пружинке соленоида, причем индуктивность соленоида зависит от смещения груза: L=L(x) – заданная функция.

Найти свободные колебания системы, изображенной на рисунке ниже,

при которых частицы движутся только вдоль прямой AB. Рассмотреть случай , и  .

Найти кратности нормальных колебаний  молекул: CO2, C2H4, BCl3:

Определить нормальные колебания системы N одинаковых частиц массы m, связанных  одинаковыми пружинами жесткости k и могущих двигаться по прямой, при условии, что один из концов свободен:

Найти свободные колебания N частиц, соединенных пружинами и могущих двигаться по кольцу.

Массы всех частиц и жесткости пружинок одинаковы. Пусть движение представляет собой бегущую по кольцу волну. Проверить, что поток энергии равен произведению линейной плотности энергии на групповую скорость.

Найти область акустических частот нормальных колебаний цепочки чередующихся частиц с массами m и M:

Вычислить эффективное поле для маятника, точка подвеса которого колеблется вертикально с амплитудой a, и найти, при каком условии верхнее положение становится устойчивым. Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция Лагранжа которого имеет вид:

Рассматриваются малые колебания ангармонического осциллятора, функция Гамильтона которого

и . Выполнить каноническое преобразование, близкое к тождественному, с помощью производящей функции

Покажите, что можно использовать a=c=0 и подобрать параметры b и d так, чтобы новая функция Гамильтона сводилась к функции Гамильтона гармонического осциллятора с точностью до членов третьего порядка по новых переменным Q и P включительно.  Найти .


Доказать теорему Нётер. Определить сечение падения частиц, имеющих на бесконечности скорость на поверхность Земли (радиус Земли равен R, ускорение свободного падения на поверхности Земли равно g). Определить траектории и законы движения частиц, рассеиваемых в поле

и падающих в центр этого поля. Траекторию выразить через квадратуры, а при – и аналитически. Скорость частиц до рассеяния параллельна оси z.

Рассматриваются малые колебания маятника в поле тяжести. Длина маятника медленно увеличивается в два раза. Найти, как изменится максимальный угол отклонения маятника. В вершинах квадрата со стороной 2a расположены массы m и M:

Найти компоненты тензора моментов инерции относительно a) осей xyz б) осей x’y’, совпадающих с диагоналями квадрат, и z.


Найти главные оси инерции и главные моменты инерции системы, в которой частицы m и 2m расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами 2a, 4a:

Какова станет продолжительность суток, когда они сравняются (за счет действия приливных сил) с месяцем (т. е. период обращения Земли вокруг оси станет равным периоду обращения Луны вокруг Земли). Принять для просты, что ось вращения Земли перпендикулярна плоскости орбит Земли и Луны. Для численных оценок считать Землю однородным шаром радиуса a=6,4 тыс. км и массой M, в 81 раз большей массы Луны m. Расстояние от Земли до Луны R=380 тыс. км. Найти угловые скорости прецессии и нутации быстрого волчка в поле тяжести:

Волчок с неподвижной точкой опоры O, вращавшийся с угловой скоростью вокруг своей оси (скорость прецессии считаем малой), касается горизонтальной плоскости краем диска:

Найти угловую скорость волчка, когда проскальзывания диска прекратятся. В момент касания нутации не было.

Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся с постоянной угловой скоростью диск, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Исследовать движение гирокомпаса на широте . Угловая скорость вращения Земли .

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 

а) основная литература:

, , Механика. М.: Наука, 1988. лассическая механика. М.: Наука, 1975. , , Черных по аналитической механике. РИЦ НГУ, 2007;  Москва-Ижевск РХД, 2010. , Cборник задач по классической механике. М.: Наука, 1977, Москва-Ижевск: РХД, 2001, 2010.

б) дополнительная литература:

  Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

Современный курс аналитической механики Кембриджского университета --- D. Tong "`Classical Dynamics"' (доступна по адресу в Интернете http://www. damtp. cam. ac. uk/user/tong/dynamics/). Интерактивные физические симуляции: http://phet. colorado. edu/en/simulations/category/chemistry

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины 

Требуется возможность демонстрировать графики и рисунки, взятые из переносного компьютера, на экран с помощью мультимедийного проектора.

Рецензент (ы) _________________________

Программа одобрена на заседании ____________________________________________

       (Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)

от ___________ года.


Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4