Лекция 1. 1.1.Таможенная статистика. Основные понятия (стр. 5 )

Пример. Две машины прошли один и тот же путь: одна со скоростью 60 км/час, а вторая – 80 км/час. Принимаем протяженность пути, который прошла каждая машина, за единицу. Тогда средняя скорость составит:

Средняя квадратическая

Средняя квадратическая используется в тех случаях, когда при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин. Главная сфера её использования – измерение степени колеблемости индивидуальных значений признака относительно средней арифметической  (среднее квадратическое отклонение). Может быть получена из общей формлы степенных средних при k = 2

Кроме этого, средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда необходимо вычислить среднюю величину признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения (при вычислении средней величины квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т. д.).

Средняя квадратическая простая рассчитывается по формуле: , средняя квадратическая взвешенная по формуле:

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда общий объем усредняемого признака является мультипликативной величиной, т. е. определяется не суммированием, а умножением индивидуальных значений признака.

Форма средней геометрической взвешенной в практических расчётах не применяется.

В социально-экономических исследованиях средняя геометрическая применяется в анализе рядов динамики при определении среднего коэффициента роста, когда задана последовательность относительных величин динамики. Средняя геометрическая используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значения признака

Все степенные средние различаются между собой значениями показателя степени. При этом, чем выше показатель степени, тем больше количественное значение среднего показателя

Это свойство степенных средних называется свойством мажорантности средних.

Таким образом, выбор вида среднего показателя оказывает существенное влияние на его численную величину. Выбор вида средней определяется в каждом отдельном случае путем анализа исследуемой совокупности и изучения содержания явления. Степенная средняя выбрана правильно, если на всех этапах вычислений не меняется её логическая формула, т. е.реально сохраняется социально-экономическое содержание усредняемого признака.

Виды степенных средних

Название средней	Показатель степени	Формула расчета
Простая	Взвешенная
арифметическая	1
гармоническая	– 1		,где
квадратическая	2
геометрическая

Структурные средние

Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены, в основном, модой и медианой.

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:

— значение моды — нижняя граница модального интервала — величина интервала — частота модального интервала — частота интервала, предшествующего модальному — частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части. Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианты приходится на нее.

Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле: , в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда.

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

— искомая медиана — нижняя граница интервала, который содержит медиану — величина интервала — сумма частот или число членов ряда - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному — частота медианного интервала

Пример. Найти моду и медиану.

Возрастные группы	Число студентов	Сумма накопленных частот УS
До 20 лет	346	346
20 — 25	872	1218
25 — 30	1054	2272
30 — 35	781	3053
35 — 40	212	3265
40 — 45	121	3386
45 лет и более	76	3462
Итого	3462

Решение:
В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды:

Это значит что модальный возраст студентов равен 27 годам.

Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Уfi/2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

Характеристики рассеяния вариационного ряда

Степень близости индивидуальных значений к средней измеряется абсолютными, средними и относительными величинами:

1) Размах вариации:. Он характеризует лишь наибольшие различия  значений признака, но не измеряет вариацию во всей совокупности.

2) Среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической.

Среднее линейное отклонение:

для несгруппированных данных , где — число членов ряда; для дискретного ряда , интервального ряда , где — сумма частот вариационного ряда, –  середина –  го интервала. Порядок расчёта среднего линейного отклонения в интервальном ряду распределения следующий:

1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная для интервального ряда.