, (5.4)
где параметр 
имеет размерность длины, константа 
определяется из условия нормировки.
Подставим решение (5.4) в уравнение (5.3) и найдем значение 
для рассматриваемого состояния электрона в атоме водорода. Имеем:
, 
.
После подстановки производных в уравнение (5.3) и деления на 
получим:
. (5.5)
Уравнение (5.5) справедливо при любых значениях 
, если
, (5.6)
. (5.7)
Легко видеть, что параметр 
– это боровский радиус, который получается в полуклассической теории как радиус орбиты электрона в основном состоянии. Нетрудно убедиться в том, что в результате подстановки (5.7) в (5.6) получается точно такое же значение 
, как и в теории Бора.
Далее найдем вероятность того, что электрон в 
- состоянии находится на расстоянии 
от ядра, точнее – в интервале расстояний от 
до 
. Учитывая сферическую симметрию волновой функции, можно сказать, что необходимо найти вероятность пребывания электрона в шаровом слое толщиной 
и объемом 
:
, 
, 
.
Теперь найдем расстояние от ядра 
, на котором электрон находится с максимальной вероятностью. Понятно, что производная 
представляет собой функцию, которая характеризует зависимость вероятности от 
. Для того чтобы найти 
, необходимо исследовать эту функцию на максимум:
, 
.
Таким образом, расстояние от ядра, на котором электрон в атоме водорода в основном состоянии пребывает с максимальной вероятностью, в точности равно боровскому радиусу, т. е. радиусу орбиты электрона в основном состоянии. Из этого следует, что в квантовой механике боровская стационарная орбита электрона представляет собой геометрическое место точек, в которых электрон находится с максимальной вероятностью. Необходимо отметить, что в квантовой механике при 
мы имеем лишь максимум вероятности; вместе с тем существует ненулевая вероятность найти электрон и на других расстояниях от ядра. График зависимости 
от 
приведен на рис. 5.1.
Рис. 5.1
5.2. Пространственное квантование
Одна из особенностей физики микромира, вскрытая квантовой механикой, состоит в квантовании таких физических величин, как энергия и момент импульса частицы. Кроме того, микромиру свойственно и пространственное квантование.
В классической физике и в полуклассической теории Бора предполагалось, что вектор орбитального момента импульса электрона может ориентироваться относительно определенного направления в пространстве, выделенного, например, магнитным полем, под любым углом. В квантовой теории модуль вектора орбитального момента импульса определяется равенством
, (5.8)
его проекция на выделенное направление 
может принимать значения, кратные 
: 
. Поскольку при заданном 
квантовое число 
имеет 
значений, вектор 
может иметь только 
определенных положений относительно выделенного направления. Иначе говоря, ориентация вектора 
в пространстве квантуется.
В 1922 году Герлах и Штерн провели эксперименты, которые подтвердил явление пространственного квантования. Первоначально эти опыты были предприняты для того, чтобы измерить орбитальные моменты электрона. Поэтому их необходимо было проводить с атомами, у которых орбитальные моменты всех электронов, кроме одного, взаимно компенсировали бы друг друга. К числу таковых относятся атомы первой группы Периодической системы, имеющие один валентный электрон. Поскольку орбитальный магнитный момент электрона фактически совпадал с магнитным моментом такого атома, идея опытов Герлаха и Штерна состояла в том, чтобы измерить силу, действующую на атом в неоднородном магнитном поле:
.
Здесь 
– проекция магнитного момента атома на направление 
, 
– производная модуля индукции по направлению 
.
Источником атомов служил нагреваемый до высокой температуры серебряный шарик, помещенный в вакумированную трубку (рис. 5.2). Атомы серебра вылетали из шарика в результате испарения со скоростью порядка 100 м/с. С помощью щелевых диафрагм из этих атомов формировался параллельный пучок, который попадал в неоднородное магнитное поле, перпендикулярное направлению движения. Приемником атомов служила фотопластинка, на которой в местах попадания атомов происходило почернение эмульсии. Если бы магнитный момент атомов серебра мог иметь произвольную ориентацию относительно линий индукции, то можно было бы ожидать почернения фотопластинки по всей ее ширине с большей плотностью в середине и с меньшей по краям. Однако опыты
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
