ТЕМА 5. СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ФИЗИКЕ АТОМОВ
5.1. Водородоподобный атом в квантовой механике
Мы уже рассматривали решение задачи об энергии электрона в атоме водорода в полуклассической теории Н. Бора, сочетающей движение электрона по строго определенным траекториям с дискретностью значений момента импульса. Такое сочетание было достигнуто Бором путем введения постулатов о стационарных орбитах и квантовании момента импульса электрона, движущегося по этим орбитам. Теперь кратко рассмотрим решение этой задачи в рамках квантовомеханической теории, которая позволяет получить те же результаты без постулатов Бора.
Пусть атом состоит из неподвижного ядра с зарядом 
(
– зарядовое число атома, 
– модуль заряда электрона). При 
имеем атом водорода, при 
– т. н. водородоподобный ион. Состояние электрона в водородободобном ионе описывается волновой функцией 
, которая удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:
. (5.1)
Здесь 
– полная энергия электрона, 
– его потенциальная энергия:
.
Можно показать, что волновая функция удовлетворяет условиям гладкости и интегрируемости в следующих случаях:
– при любых положительных значениях полной энергии электрона;
– при дискретных отрицательных значениях энергии
, 
. (5.2)
Первый случай соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся на бесконечность. Второй случай относится к электрону, связанному с ядром. Легко видеть, что при 
значения полной энергии электрона получаются точно такими же, как и в теории Бора для атома водорода.
Волновая функция содержит три параметра : 
, 
, 
. Первый из них (
) называется главным квантовым числом; именно он входит в равенство (5.2), определяющее полную энергию электрона в атоме. Параметр 
– это т. н. орбитальное (азимутальное) квантовое число, определяющее орбитальный момент импульса электрона. Третий параметр (
) называется магнитным орбитальным квантовым числом; он характеризует проекцию орбитального момента импульса на направление внешнего магнитного поля. Волновая функция удовлетворяет условиям гладкости и интегрируемости, если значения 
при заданном 
не превышает 
: 
. При определенном 
квантовое число 
может принимать 
значений: 
. Согласно равенству (5.2), полная энергия электрона зависит только от главного квантового числа. Следовательно, каждому значению полной энергии соответствует несколько волновых функций, отличающихся значениями квантовых чисел 
и 
. Это означает, что электрон может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Такие состояния называются вырожденными, а их количество, соответствующее определенному значению энергии, – кратностью вырождения уровня энергии (энергетического уровня).
Кратность вырождения энергетических уровней атома водорода легко вычислить, исходя из возможных значений 
и 
. Действительно, каждому из 
возможных значений квантового числа 
соответствует 
значений числа 
. Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному значению 
, определяется суммой
(это можно показать, найдя сумму членов арифметической прогрессии). Состояния электрона с различными значениями числа 
отличаются величиной орбитального момента импульса и обозначаются в атомной физике следующим образом: 
(
-состояние), 
(
-состояние), 
(
-состояние), 
(
-состояние) и т. п. Рассмотрим более подробно 
-состояние электрона атома водорода при 
и на основе этого установим, что же представляют собой стационарные орбиты электрона, постулированные Бором, в рамках квантовой механики.
Волновая функция электрона в 
-состоянии при 
(т. н. основное или невозбужденное состояние) зависит только от переменной 
, определяющей расстояние электрона от ядра. Уравнение Шредингера для волновой функции в сферических координатах имеет вид:
(5.3)
(здесь учтено, что вследствие сферической симметрии волновой функции производные 
и 
равны нулю). Решение уравнения (5.3) имеет вид:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
