Обзор подходов к краткосрочному и среднесрочному прогнозированию (стр. 5 )

Процесс ARIMA имеет свойство полиномиальной факторизации:

и, таким образом может быть выражен как процесс ARMA(p+d, q) (модель со скользящим средним и авторегрессионной частью), имеющий авторегрессионный полином с несколькими корнями.  Именно по этой причине модель ARIMA не является стационарной в широком смысле.

Модели ARIMA используются для наблюдаемых нестационарных процессов , которые имеет некоторые легко идентифицируемые тенденции:

- постоянная тенденция моделируется при d=0,

- линейная тенденция (например, линейный рост) моделируется при d=1,

- тенденция, описывающаяся квадратичной функцией, моделируется при d=2.

В этих случаях модель ARIMA можно считать «каскадом» двух моделей. Первая модель нестационарна:

,

Тогда как вторая является стационарной в широком смысле:

.

Для могут быть определены стандартные методы прогнозирования, а затем может быть спрогнозирован через соответствующие шаги интеграции.

Литература

Т. С. Mills. Time Series Techniques for Economists. Cambridge University Press. – 1990.

D. B. Percival,  A. T. Walden. Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge University Press. – 1993.

Модель Грея

       Теория Грея это мультидисциплинарная и общая теория, которая работает с системами, действующими в условиях нехватки информации. Вопросы, которые затрагиваются в теории Грея:  системный анализ, обработка данных, моделирование, построение прогнозов, принятие решений и управление. Теория Грея в основном работает на уровне системного анализа с малоинформативными, неполными или неопределенными сообщениями. Модели прогнозирования на основе этой теории активно используются на практике. По сравнению со статистическими методами доказано, что модель Грея GM(1,1) становится эффективной при размере оригинальной временной серии больше 4. Также необязательно строить предположения о статистическом распределении данных. Операция накопленных поколений (accumulated generation operation, AGO) является одной из наиболее важных характеристик теории Грея и основная цель этой операции – уменьшить случайность данных. 

Модель прогнозирования GM(1,1)

Модель GM(1, 1) наиболее часто используема в различных приложениях. Это модель прогнозирования временных рядов, содержащая вместо дифференциального уравнения первого порядка группу дифференциальных уравнений, адаптированных для изменений параметров. Эти уравнения, отличаются от обобщенных дифференциальных уравнений тем, что имеют структуру, которая меняется в зависимости от времени. Необязательно использовать все фактические данные для построения прогноза, однако число данных должно быть больше четырех. Также данные должны располагаться через равный временной интервал в последовательном порядке без пропусков. Процесс построения модели GM(1, 1) приведен ниже:

Обозначим имеющуюся последовательность данных как:

Где - число наблюдаемых лет.

Применение операции AGO задается как:

,

Где

, и , .

Модель GM(1, 1) может быть построена с помощью дифференциального уравнения первого порядка для :

. (8)

Решение уравнения (8) находится с помощью метода наименьших квадратов. То есть:

, (9)

где и

,

.

Мы получили из уравнения (9). Положим существует и равен:

где .

Применив обратный оператор AGO, получим:

называются последовательностью, удовлетворяющей модели GM(1, 1), тогда как называются прогнозными значениями GM(1,1).

Усовершенствованная модель прогнозирования Грея

GM(1,1) модель с остатками является улучшением обыкновенной модели GM(1,1). Разность между реальными значениями и прогнозом         определяются как остаточная серия. Обозначим её как :

, (10)

Где .

Модель GM(1,1) c остатками может быть введена для того чтобы улучшить точность прогноза исходной модели GM(1,1). Новые прогнозные данные могут быть получены с помощью сложения прогнозных данных модели GM(1,1) c остатками и исходных данных  . Однако эффективность остаточной серии зависит от числа точек данных с этим же знаком, которое является малым при небольшом количестве данных. В этом случае эффективность остаточной серии того же знака не может быть больше четырех, и остаточная модель не может быть введена.

Чтобы решить эту проблему введем подмодель, которая является комбинацией модели GM(1, 1) c остатками, использующей абсолютные значения остаточной серии в сочетании с ANN для оценки знака остатка. Новая модель изображена на рисунке 3.

Рисунок 4. Схема прогнозирующей модели

Модель прогнозирования с остатками

Обозначим абсолютные значения остатков через е(0):

, (11)

Где

Далее модель строится также как и исходная GM(1, 1). Обозначив прогнозные серии остатков через , получим:

, k = 2, 3, … (12)

Применение искусственной нейронной сети для оценки знака остатка

В качестве блока оценки знака остатка будем использовать уже описанную ранее искусственную нейронную сеть в сочетании с методом обратного распространения ошибки для обучения.

Введем переменную вспомогательную переменную и будем полагать, что значение равно 1, если остаток от -го года является положительным, 0 – в противном случае. 

Будем использовать нейронную сеть с входами и и выходом для того чтобы оценить знак остатка.

Рисунок 5. Структура нейронной сети для прогнозирования знака остатка

Будем вычислять знак остатка по следующей формуле:

k=1, 2, …, n, …

Тогда улучшенная модель Грея будет записываться как:

,

Пример: прогнозирование объема потребляемой электроэнергии в Тайване

Для прогнозирования использовались три модели: исходная модель Грея, улучшенная модель Грея и ARIMA(p, d,q) (описанная выше). В результате статистических тестов ARIMA c (p, d,q)=(0,1,0) приобрела следующий вид: