Вступительная экзаменационная работа по алгебре за 9 класс

Центр образования № 000

2000 – 2001 учебный год

Вступительная экзаменационная работа по алгебре за 9 класс

Вариант № 1

1. Упростить:

а);б)

2. Решить уравнение  .

3. Построить график функции  .

4. При каких значениях a корни уравнения удовлетворяют условию ?

5. Вычислить  .

6. Задача. Машина, пройдя путь от А до В, равный 300 км, повернула назад и через 1 час 12 минут после выхода их В увеличила скорость на 16 км/ч. В результате она затратила на обратный путь на 48 мин. меньше, чем от А до В. Определить первоначальную скорость.

7. Задача. В трапеции параллельные стороны равны 16 см и 44 см, а непараллельные 17 см и 25 см. Найти: а) площадь трапеции; б) расстояние от точки пересечения диагоналей до большего основания; в) отрезок средней линии, заключенный между диагоналями.

Вариант № 2

1. Упростить

а) ; б) .

2. Решить уравнение  .

3. Построить график функции  .

4. При каких значениях k корни уравнения удовлетворяют условию ?

5. Вычислить  .

6. Задача. Велосипедист проехал от А до В 60 км. На обратном пути он первый час ехал с прежней скоростью, после чего сделал остановку на 20 мин. Начав движение снова, он увеличил скорость на 4 км/ч и поэтому потратил на путь от А до В столько же, сколько из В в А. Определить первоначальную скорость велосипедиста.

7. Задача. В трапеции параллельные стороны равны 10 см и 24 см, а непараллельные 13 см и 15 см. Найти: а) площадь трапеции; б) расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания; в) отрезок средней линии, заключенный между диагоналями.

Вариант № 3

1. Упростить

а) ; б).

2. Решить уравнение  .

3. Построить график функции  .

4. При каких значениях a корни уравнения удовлетворяют условию ?

5. Вычислить .

6. Задача. Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 мин. Увеличив после этого свою скорость на 10км/ч, он наверстал опоздание на перегоне в 80 км. Определить скорость мотоциклиста до задержки.

7. Задача. В трапеции разность оснований равна 14 см, непараллельные стороны равны соответственно 13 и 15 см. Известно, что в неё можно вписать окружность. Найдите площадь трапеции, радиус вписанной окружности в неё и расстояние между серединами боковых сторон.

Вариант № 4

1. Упростить

а) ;

б) .

2. Решить уравнение  .

3. Построить график функции .

4. При каких значениях с корни уравнения удовлетворяют условию ?

5. Вычислить  .

6. Задача. Моторная лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами туда и обратно, не останавливаясь, за 6 ч. 15 мин. Расстояние между пунктами 60 км. Определить скорость течения реки.

7. Задача. В трапеции разность оснований равна 28 см, непараллельные стороны равны соответственно 17 и 25 см. Известно, что в неё можно вписать окружность. Найдите площадь трапеции, радиус вписанной окружности в неё и расстояние между серединами боковых сторон.

Центр образования № 000

2001 – 2002 учебный год

Вступительная экзаменационная работа по математике в 9 класс

Вариант № 1

1. Задача. Товарный поезд был задержан в пути на 18 мин., а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

2. Выполнить указанные действия  .

3. Выясните, являются ли равносильными уравнения и .

4. Установите область определения функции: .

5. Решите графически уравнение  .

6. При каких значениях b уравнение  

а) имеет один корень; б) имеет только отрицательные корни.

7. Задача. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы A и B – прямые, ВС=6 см, AD=8 см, АВ=2см. Найдите SABCD; углы C и D четырехугольника ABCD; длину отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD; выясните, можно ли вписать в четырехугольник ABCD окружность; выясните, можно ли провести окружность через точки A, B, C, D; выясните, подобны ли треугольники ABC и ACD; найдите радиус окружности, описанной около ΔABC; найдите радиус окружности, вписанной в ΔACD; выразите вектор через векторы и .

Вариант № 2

1. Задача. Автомобиль был задержан в пути на 0,2 часа, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найдите начальную скорость автомобиля.

2. Выполнить указанные действия. .

3. Являются ли равносильными уравнения    и  .

4. Установите область определения функции:  .

5. Решите графически уравнение  .

6. При каких значениях b уравнение 

а) имеет один корень;  б) имеет только положительные корни.

7. Задача. В равнобедренном ΔABC ∠B=1200; точки М и Н – середины сторон АВ и ВС соответственно, АС=4. Найдите SΔABC; найдите расстояние между серединами отрезков АМ и НС; докажите, что ΔABC подобен ΔМВН и найдите отношение их площадей; выясните, можно ли провести окружность через точки A, М, Н, C; выясните, можно ли в четырехугольник АМНК вписать окружность; найдите синус угла НМЕ, если точка Е – основание перпендикуляра НЕ, проведенного к прямой АС; найдите радиус окружности, вписанной в ΔМВН; найдите радиус окружности, описанной около ΔМНК.

Центр образования № 000

2003 – 2004 учебный год

Вступительная экзаменационная работа по математике в 9 класс

Вариант № 1

1. Упростите выражение и найдите все значения переменной, при которой выражение принимает значение равное 9.

2. Решите уравнение  а) ,  б) .

3. Найдите все значения , удовлетворяющие условиям:.

4. Постройте график функции .

5. Задача. Аквариум наполняется водой, поступающей в него через 2 трубки, за 3 часа. За какое время может наполнить аквариум первая трубка, если ей требуется для этого на 2,5 часа меньше, чем второй?

6. Найдите все значения а, при которых корни уравнения больше, чем 1. 

7. Задача. Через концы хорды АВ окружности с центром О проведены касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите градусную меру меньшей из дуг АВ, если АО = 6 см, а периметр четырехугольника АОВС = 24 см.

Вариант № 2

1. Упростите выражение и найдите все значения переменной, при которой выражение принимает значение равное 0,2.

2. Решите уравнение  а) ,  б) .

3. Найдите все значения , удовлетворяющие условиям:.

4. Постройте график функции .

5. Задача. Двое рабочих вместе могут убрать помещение за 2 часа. Первому рабочему, если бы он убирал помещение один, потребовалось бы на 3 часа больше, чем второму. За какое время может убрать помещение первый рабочий?

6. Найдите все значения а, при которых корни уравнения меньше, чем 1. 

7. Задача. Из точки А к окружности радиуса 7 см проведены касательные АВ и АС (В и С - точки касания). Точка D принадлежит большей из дуг ВС. Найдите ∠ВDC, если АВ=7 см.

Вариант № 3

1. Выполните действия .

2. Вычислите  .

3. Найдите область определения функции .

4. Корни уравнения   квадратного уравнения имеют разные знаки и удовлетворяют равенству  . Найдите с и при этом значении с вычислите значение выражения .

5. Задача. Катер может проплыть 15 км по течению реки и ещё 4 км против течения реки за такое же время, какое потребуется плоту, чтобы проплыть по той же реке 2 км. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 18 км/ч.

6. Постройте график функции . Чему равно наименьшее значение функции?  Решите уравнение . При каких значениях уравнение имеет: два корня; не имеет корней; имеет бесконечное множество корней?

7. Задача. В трапеции длины диагоналей равны и , а длины оснований – 4 и 12. Найдите площадь трапеции. Можно ли в эту трапецию вписать окружность? Можно ли вокруг этой трапеции описать окружность?

Вариант № 4

1. Выполните действия .

2. Вычислите  .

3. Найдите область определения функции .

4. Корни уравнения   квадратного уравнения имеют разные знаки и удовлетворяют равенству  . Найдите с и при этом значении с вычислите значение выражения .

5. Задача. Лодка может проплыть 9 км по течению реки и ещё 1 км против течения за такое же время, какое потребуется плоту, чтобы проплыть 4 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 8 км/ч.

6. Постройте график функции . Чему равно наименьшее значение функции?  Решите уравнение . При каких значениях уравнение имеет: одно решение; не имеет корней; имеет бесконечное множество корней?

7. Задача. В трапеции длины диагоналей равны и , а длины оснований – 10 и 15. Найдите площадь трапеции. Можно ли в эту трапецию вписать окружность? Можно ли вокруг этой трапеции описать окружность?

Вариант № 5

1. Найдите числовое значение следующего алгебраического выражения при а = -0,(1) .

2. Упростите выражение  .

3. Решите уравнения:  а) ,  б) .

4. Докажите неравенство и определите значения переменных, при которых достигается равенство.

5. Задача. Сумма квадратов цифр в записи некоторого двузначного числа на 1 больше утроенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму цифр в его записи в частном получается 7 и в остатке 6. Найдите это число.

6. Постройте график функции и определите те значения , при которых уравнение имеет два решения.

7. Задача. В треугольнике АВС ∠С=900, СН – высота делит гипотенузу на отрезки 14,4 см и 25,6 см. Найдите: катеты АС и ВС; длину высоты СН; площадь треугольника; радиус описанной окружности около треугольника; радиус вписанной окружности в данный треугольник.

Вариант № 6

1. Найдите числовое значение следующего алгебраического выражения при а = -0,(1) .

2. Упростите выражение  .

3. Решите уравнения:  а) ,  б) .

4. Докажите неравенство и определите значения переменных, при которых достигается равенство.

5. Задача. После деления некоторого двузначного числа на сумму цифр в его записи в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение цифр в его записи в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это число.

6. Постройте график функции и определите те значения , при которых уравнение имеет одно решение.

7. Задача. Катеты прямоугольного треугольника АВС (∠С=900) равны 32 см и 24 см. Найдите: гипотенузу треугольника; площадь треугольника АВС; отрезки, на которые высота делит гипотенузу; радиус описанной окружности около треугольника АВС; радиус окружности,  вписанной в данный треугольник.

Вариант № 7

1. Решите уравнение  .

2. При каких значениях параметра график функции пересекает ось в двух различных точках?

3. Решите неравенство .

4. При всех значениях параметра решите неравенство .

5. Постройте график функции и укажите все значения параметра  ,  при которых уравнение  имеет более одного корня.

6. Задача. Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовал некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, и поэтому было дополнительно затребовано 4 машины. Сколько машин было затребовано первоначально?

7. Задача. В прямоугольном ΔАВС, у которого угол С – прямой, катет ВС=6 см и ∠А=600. Найдите: остальные стороны ΔАВС; площадь ΔАВС; длину высоты, опущенной из вершины С.

Вариант № 8

1. Решите уравнение  .

2. При каких значениях параметра уравнение имеет два различных действительных корня?

3. Решите неравенство .

4. При всех значениях параметра решите неравенство .

5. Постройте график функции и укажите все значения параметра  ,  при которых уравнение  имеет единственный корень.

6. Задача. По обе стороны улицы длиной 1200 метров расположены прямоугольные полосы земли, разбитые на участки, одна – шириной в 50 м, другая – в 60 м. На сколько участков разбит весь посёлок, если более узкая полоса содержит на 5 участков больше, чем широкая, и на узкой полосе каждый участок на 1200 м2 меньше, чем каждый участок на широкой полосе?

7. Задача. В прямоугольном ΔADC, у которого угол D – прямой, катет AD=3 см и ∠DАC=300. Найдите: остальные стороны ΔADC; площадь ΔАDС; длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Вариант № 9

1. Упростите выражение и вычислите, если возможно, его значение при . .

2. Решите уравнение  .

3. Решите систему неравенств

4. Вычислите  .

5. Постройте график функции .

6. Задача. Два рабочих, из которых второй начинает работу на 1,5 дня позже первого, могут закончить работу за 7 дней. За сколько дней каждый из них отдельно мог бы выполнить эту работу, если известно, что второй рабочий может выполнить эту работу на 3 дня быстрее, чем первый?

7. Задача. В прямоугольном ΔАВС, у которого угол С – прямой, катет ВС=6 см и ∠А=600. Найдите: остальные стороны ΔАВС; площадь ΔАВС; длину высоты, опущенной из вершины С.

Вариант № 10

1. Упростите выражение и вычислите, если возможно, его значение при . .

2. Решите уравнение  .

3. Решите систему неравенств

4. Вычислите  .

5. Постройте график функции .

6. Задача. Два рабочих, из которых второй начинает работу на 1,5 дня позже первого, могут закончить работу за 7 дней. За сколько дней каждый из них отдельно мог бы выполнить эту работу, если известно, что второй рабочий может выполнить эту работу на 3 дня быстрее, чем первый?

7. Задача. В прямоугольном ΔADC, у которого угол D – прямой, катет AD=3 см и ∠DAC=300. Найдите: остальные стороны ΔADC; площадь ΔАDС; длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Центр образования № 000

2004 – 2005 учебный год

Вступительная экзаменационная работа по математике в 9 класс (математические классы)

Вариант № 1

1. Решите уравнение: .

2. Упростите выражение .

3. Решите неравенство .

4. Остаток от деления целого числа n на 4 равен 3. Чему равен остаток от деления на 4 числа . Ответ обоснуйте.

5. Двое рабочих, работая вместе, выполнили задание за 12 часов. Сколько времени необходимо было бы каждому рабочему отдельно, если один из них может выполнить всё задание на 10 часов быстрее другого.

6. Постройте график функции.

а) Чему равно наименьшее значение функции?

б) Решите уравнение

в) При каких значениях уравнение : имеет два корня; не имеет корней; имеет бесконечное множество корней.        

7. Найдите сумму квадратов корней уравнения и установите, при каких значениях a она будет наименьшей.

Центр образования № 000

2004 – 2005 учебный год

Вступительная экзаменационная работа по математике в 9 класс (математические классы)

Вариант № 2

1. Решите уравнение: .

2. Упростите выражение .

3. Решите неравенство .

4. Остаток от деления целого числа n на 6 равен 5. Чему равен остаток от деления на 6 числа . Ответ обоснуйте.

5. Два экскаватора вырыли траншею за 20 часов. За сколько часов выполнил бы эту работу каждый экскаватор, работая отдельно, если известно, что первому для этого необходимо на 9 часов больше, чем второму?

6. Постройте график функции.

а) Чему равно наименьшее значение функции?

б) Решите уравнение

в) При каких значениях уравнение : имеет два корня; не имеет корней; имеет бесконечное множество корней.

7. Найдите сумму квадратов корней уравнения и установите, при каких значениях p она будет наибольшей.

Центр образования № 000

2004 – 2005 учебный год

Переводная экзаменационная работа по математике в 9 класс (математические классы)

Вариант № 3

1. Упростите выражение .

2. Вычислите  .

3. Решите уравнение  .

4. Докажите неравенство и определите значения переменных, при которых достигается равенство.

5. Задача. Сумма квадратов цифр в записи некоторого двузначного числа на 1 больше утроенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму цифр в его записи в частном получается 7 и в остатке 6. Найдите это число.

6. Постройте график функции и определите те значения , при которых уравнение имеет два решения.

7. Задача. В треугольнике АВС ∠С=900, СН – высота делит гипотенузу на отрезки 14,4 см и 25,6 см. Найдите: катеты АС и ВС; длину высоты СН; площадь треугольника; радиус описанной окружности около треугольника; радиус вписанной окружности в данный треугольник.

Центр образования № 000

2004 – 2005 учебный год

Переводная экзаменационная работа по математике в 9 класс (математические классы)

Вариант № 4

1. Упростите выражение .

2. Вычислите  .

3. Решите уравнение  .

4. Докажите неравенство и определите значения переменных, при которых достигается равенство.

5. Задача. После деления некоторого двузначного числа на сумму цифр в его записи в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение цифр в его записи в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это число.

6. Постройте график функции и определите те значения , при которых уравнение имеет одно решение.

7. Задача. Катеты прямоугольного треугольника АВС (∠С=900) равны 32 см и 24 см. Найдите: гипотенузу треугольника; площадь треугольника АВС; отрезки, на которые высота делит гипотенузу; радиус описанной окружности около треугольника АВС; радиус окружности,  вписанной в данный треугольник.