Решения заданий
второго этапа олимпиады «Математический марафон»
Задача 1. Сумма трёх последовательных натуральных чисел равна 99. Найдите произведение этих чисел.
Ответ: 35904.
Решение. Обозначим меньшее из искомых чисел х, тогда следующие числа будут х + 1 и х + 2. Т. к. сумма трёх этих чисел равна 99, то получаем уравнение: х+х+1+х+2 = 99. Откуда, находим три последовательных числа: 32, 33, 34, произведение которых равно 35904.
Задача 2. В примере на умножение 
использованы все цифры от 1 до 9, каждая по одному разу. Какую цифру заменяет каждая буква?
Ответ: 
Решение. Заметим, что 
. Куда может входить множитель 53? 
, поскольку цифра 3 уже встречается. Если же 53 умножить хотя бы на 2, то получится трехзначное число. Поэтому 53 входит в множитель ЛИД, и этот множитель равен произведению 53 и какого-то числа двоек и троек (или только троек). Рассмотрим такие произведения: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
(при дальнейшем увеличении числа второй множитель ЕР станет однозначным). Теперь остается заметить, среди выписанных произведений условиям задачи удовлетворяет только одно – это 159, этому множителю отвечает значение ЕР, равное 
, и это число отвечает условиям задачи. Итак, 
.
Задача 3. Бумажный треугольник разрезали прямым разрезом на две части. Потом одну из полученных частей разрезали ещё раз на два куска, и так далее. Какое наименьшее количество разрезов могло быть сделано, если общее количество углов у всех получившихся фигур равно 2015?
Ответ: 503 разреза.
Фигура 1 |
Фигура 2 |
Решение. При разрезании выпуклого многоугольника прямым разрезом получаются два многоугольника. При этом могут образоваться не более четырёх новых углов, то есть, суммарное количество углов в образовавшихся многоугольниках превышает количество углов первоначального многоугольника не более, чем на 4. Поскольку 
, то хватит 503 разреза.
Задача 4. Лена вырезала из бумаги четыре полоски одинаковой ширины, но разной длины. Каждая следующая полоска на 1 см длиннее предыдущей. Затем девочка составила из этих полосок две фигуры (см. рис.). Сравните периметры получившихся фигур.
Ответ: периметр фигуры 1 на 2 см меньше, чем периметр фигуры 2.
Решение. Горизонтальные участки границ фигур дают одинаковые вклад в периметры, поэтому будем сравнивать лишь длины вертикальных участков границ. Пусть х – высота самой маленькой полоски. Тогда периметр фигуры 1 (без учета горизонтальных участков границы) равен
х + 1 + 1 + 1 + 3 + х = 2х + 6,
а периметр фигуры 2 равен
х + 2 + 1 + 2 + 3 + х = 2х + 8.
Итак, периметр фигуры 1 на 2 см меньше, чем периметр фигуры 1.
Задача 5. Помидор и баклажан вместе весят столько же, сколько огурец и кабачок. Помидор вместе с огурцом весят меньше, чем баклажан с кабачком, а огурец вместе с баклажаном весят меньше, чем помидор с кабачком. Какой из овощей самый тяжелый?
Ответ: кабачок.
Решение. Обозначим через п вес помидора, б – вес баклажана, о – вес огурца и к – вес кабачка. Тогда
п + б = о + к
п + о < б + к
о + б < п + к.
Равенство означает, что если на одну чашу весов положить помидор и баклажан, а на вторую огурец и кабачок, то весы будут в равновесии. Первое из неравенств означает, что если поменять местами баклажан и огурец, то баклажан и кабачок перевесят, значит, баклажан тяжелее огурца, но тогда из равенства следует, что помидор легче кабачка. Аналогично, второе неравенство означает, что если поменять на весах местами помидор и огурец, то помидор и кабачок перевесят, значит, помидор тяжелее огурца, но тогда баклажан легче кабачка. Итак, самый тяжелый овощ – кабачок.
5 | d | e |
6 | 5 | b |
a | c | k |
Задача 6. В каждую клетку таблицы 3х3 надо вписать цифры: 5, 6 или 7. Каждая цифра должна встречаться в каждой строчке и в каждом столбце. Три клетки таблицы уже заполнены. Сколькими способами можно завершить это задание?
Ответ: один способ.
5 | 7 | 6 |
6 | 5 | 7 |
7 | 6 | 5 |
Решение. В клеточку а можно поставить только 7, в клеточку b – тоже. Теперь в клетку с можно поставить лишь 6 (так как 5 уже есть во втором столбце, а 7 – в третьей строке), поэтому в d можно вписать только 7. После этого в клетку е можно вписать только 6, а в клетку k – только 5. Итак, задание можно завершить лишь одним способом (см. таблицу).
Задача 7. Во дворе гуляют цыплята и утята. Если во двор выйдут ещё 10 утят, то всего утят станет в вдвое больше, чем цыплят. Сколько цыплят должно уйти, чтобы среди оставшихся птиц оказалось вдвое больше утят, чем цыплят?
Ответ: 5 цыплят.
Решение. Пусть сначала было х цыплят и y утят. Тогда у + 10 = 2х. Отсюда получаем: у = 2х – 10, или у = 2(х – 5). Это соотношение показывает, что при уменьшении на 5 числа цыплят, утят будет вдвое больше.
Задача 8. Улитки Ляля и Зизи преодолевают десятиметровую дистанцию, стартуя одновременно с одного старта. Ляля каждый метр проползает за 2 минуты, а потом 2 минуты отдыхает. Зизи передвигается в 2 раза быстрее, но отдыхает после каждого метра 4 минуты. В скольких точках дистанции (кроме старта и финиша) обе улитки побывают одновременно?
Ответ: в 4 точках.
Решение. Будем отмечать на числовой прямой точки, в которых улитки отдыхают.
1 м | 2 м | 3 м | 4 м | 5 м | |
Ляля | 3-я – 4-я мин | 7-я – 8-я мин | 11-я – 12-я мин | 15-я – 16-я мин | 19-я – 20-я мин |
Зизи | 2-я – 5-я мин | 7-я – 10-я мин | 12-я – 15-я мин | 17-я – 20-я мин | 22-я – 25-я мин |
Из таблицы видно, что улитки встретятся в точках: 1 м, 2 м, 3 м и 4 м. То есть всего 4 точки.
Задача 9. Мама сказала детям: «Если я испеку каждому из вас по два пирожка, то останется теста на три лишних пирожка, а если я захочу испечь каждому из вас по три пирожка, то на два пирожка теста не хватит». Сколько детей у мамы?
Ответ: 5 детей.
Решение. Пусть число детей – х. Тогда 2х + 3 = 3х – 2 (в левой и правой частях равенства написано количество пирожков, которое можно испечь). Откуда, х = 5.
