УДК 519.612
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ, ВЫЗВАННОГО ПЕРЕПАДОМ ДАВЛЕНИЯ
Кемеровский Государственный Университет
Математический факультет
Кафедра вычислительной математики
*****@***ru
Двумерное движение вязкой несжимаемой жидкости описывается системой уравнений Навье-Стокса:
(1)
Традиционно существует две постановки задач: в первой на всех границах области решения задается скорость, во второй на твердых стенках ставится условие прилипания, а на границах протекания задано давление. Нас интересует вторая постановка – течение, вызванное перепадом давления. Эта постановка является менее изученной, для нее существует лишь небольшое количество теорем существования и единственности. Такую задачу приходится решать, когда заранее неизвестно, как будет двигаться жидкость на границах протекания.
Область решения представляет собой разветвленный канал (см. рис.1).
Рис. 1. Область решения
Как видно из рисунка, на входах в канал задано давление 
и нулевая касательная к границе составляющая скорости. На твердых стенках скорость задается равной нулю.
Главной проблемой при решении данной задачи является то, что на входах и выходах из канала поставлено граничное условие на давление, а не на скорость. Поскольку для решения уравнений движения с помощью неявной схемы необходимо задать скорость на входах и выходах, так как это является необходимым условием для использования прогонки, то было решено аппроксимировать на границе сами уравнения.
Для решения задачи была построена разнесенная сетка [1] и расчеты велись по трехэтапной схеме расщепления [2]:
(2)
где 
Еще одной существенной проблемой явилось то, что для решения уравнения Пуассона на давление нужно поставить граничные условия на твердых стенках. Было задано условие второго рода – 
, выраженная из уравнения движения. Т. о., получена смешанная краевая задача для уравнения Пуассона. Поскольку матрица системы в этой задаче является несамосопряженной, то для решения была использована следующая итерационная схема:
где 
– значение оптимального итерационного параметра одношаговой итерационной схемы; 
– оператор шага одношаговой итерационной схемы и 
– норма оператора шага одношаговой итерационной схемы при оптимальном значении итерационного параметра. Эта неградиентная схема есть другая запись чебышевского итерационного процесса [3], ее преимущество в том, что самосопряженность оператора используется только при оценке сходимости, это делает возможным ее применение в нашем случае – когда оператор системы несамосопряжен. Она показывает достаточно хорошие результаты при несамосопряженном операторе и устойчива к неточному заданию входных параметров. Поскольку уравнение Пуассона приходится решать на каждом шаге по времени, то очень выгодно в начале итерационного процесса, задав некоторым образом значения нормы и оптимального итерационного параметра, определить набор итерационных параметров и использовать его при каждом значении времени.
Была проведена серия расчетов на сетке с количеством узлов 150х250; давление 
. Показаны картины течений при последовательном уменьшении 
. На рис.2 показано течение, когда 
. Вблизи стенки возникает вихрь.
Рис. 2. Течение в канале, 
Для рис.3 
. Вихрь занимает почти весь проход, на границе протекания некоторые линии тока направлены внутрь канала, некоторые – наружу.
Рис. 3. Течение в канале, 
На рис.4 изображено течение при 
. Вихрь сместился к нижней стенке прохода, а линии тока полностью сменили направление: жидкость вытекает из канала.
Рис. 4. Течение в канале, 
Таким образом, показано, что незначительные изменения давления приводят к качественно различным картинам течений.
Литература
1. С. Патанкар Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / Москва: Энергоатомиздат, 1984. - 124с.
2. Белоцерковский моделирование в механике сплошных сред / Москва: Наука, 1984. – 520с.
3. Захаров итерационные методы решения задач гидродинамики / Новосибирск: Наука, 2005. - 239с.
Научный руководитель – д. ф.-м. н., профессор
