Лабораторная работа № 1.

Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.


1.  Задание.

  С помощью методов бисекций, простых итераций и Ньютона решить уравнение f(x) = 0.

  2. Теоретическое описание методов, условий сходимости, влияния выбора начальной точки и других факторов на процесс и результаты вычислений приведены в лекции 3.

  3.  Порядок выполнения работы

3.1. Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода бисекций.

Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0 (т. е. найти отрезок [a, b], на котором функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Больцано-Коши). Написать функцию вычисления корня уравнения f(x) = 0, найти корень уравнения.

  3.2. Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода простых итераций.

  1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0.

Преобразовать уравнение f(x) = 0 к виду x = φ(x) так, чтобы в некоторой окрестности [a, b] корня ξ производная φ′(x) удовлетворяла условию |φ′(x)|≤q1. При этом следует помнить, что чем меньше q, тем быстрее последовательные приближения сходятся к корню. Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке [a, b]. Используя пакет MathCAD, написать функцию для нахождения корня уравнения. Провести вычисления для заданной функции.

3.3. Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода Ньютона

Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0. Убедиться, что на найденном отрезке [a, b] функция f(x) удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона. Выбрать начальное приближение корня x0∈[a, b] так, чтобы f′(x0)f″(x0)>0. Оценить снизу величину , оценить сверху величину . По заданному ε0 выбрать значение ε для условия окончания итерационного процесса . Составить программу вычисления корня уравнения по методу Ньютона, используя пакет MathCAD. Произвести вычисления по программе.

Варианты заданий к лабораторной работе.

№ варианта

f(x)

№ варианта

f(x)

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30



4. Приложение.

Найти корень уравнения с точностью ε = 0.0001.

    Отделяем корень графически.

                       Рис. 3.2.

       

Легко видеть, что ξ > 0. Преобразуем уравнение к виду . Здесь , , φ′(x) < 0 для всех x ≥ 0 и |φ′(x)| = || ≤ 0.1 1. Значит, q = 0.1. В качестве нулевого приближения выберем x0 = 0.

       Используя программу Interp(f, x0,eps), написанную с использованием пакета MathCAD 2000, нашли корень уравнения:

где f – исходная функция,

  x0 – начальное приближение,

  eps – погрешность.

Результат – вектор, по которому можно определить количество итераций, необходимых для определения приближённого значения с заданной точностью.