Системы линейных
алгебраических уравнений
1. Основные определения. 2. Решение крамеровских систем линейных алгебраических уравнений: а) с использованием формул Крамера; б) с использованием обратной матрицы; в) методом Гаусса. 3. Решение однородных систем второго порядка
Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными:
(3.1)
или AX = B, где 
; X = 
; В = 
.
А – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных (матрица системы), Х – вектор-столбец неизвестных, В – вектор-столбец свободных членов.
Система (3.1) называется неоднородной, если вектор-столбец В имеет хотя бы один элемент, не равный нулю, и однородной, если все элементы bk = 0 (k = 
) (система (3.1) имеет вид AX = 0).
Решением системы (3.1.) называется вектор-столбец
С = 
, если AC = B или 
.
Система (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решения не имеет.
Совместная система называется определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если имеет бесконечное число решений.
Заниматься анализом условий, приводящих к каждой из возможностей (одно решение, бесконечно много решений, решение отсутствует), мы не будем.
Рассмотрим способы нахождения решений только крамеровских (определенных) систем, в которых
- число уравнений равно числу неизвестных (в системе (3.1) m = n), определитель матрицы системы не равен нулю.
Опишем три способа нахождения решения системы (3.1): метод Гаусса, с помощью формул Крамера и с использованием обратной матрицы.
Первый из способов универсален, так как справедлив при любых соотношениях m и n: m ≠ n, m = n, а два других можно применять только тогда, когда m = n и det A ≠ 0.
Формулы Крамера для системы 
(3.2)
имеют вид 
, 
, …, 
, (3.3)
где Δ = det А, 
(
= 
) – определители матриц, полученные из матрицы А заменой элементов 
-го столбца на элементы столбца В – свободных членов.
Например, Δхk = 
.
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений заключается в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы, которые приводят систему к эквивалентной исходной (имеющей с исходной системой одно и то же решение).
Приведем алгоритм решения систем методом Гаусса.
Замечание. Однородная крамеровская система AX = 0 имеет только нулевое решение, т. е. 
= 0, поскольку все 
= 0.
Алгоритм 5
Решение крамеровских систем методом Гаусса
Шаг 1. Составляем расширенную матрицу А⎪В присоединением к матрице системы столбца из свободных членов 
А⎪В =
;
Шаг 2. Приводим матрицу А⎪В к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований
А⎪В ~
.
Шаг 3. Составляем эквивалентную систему, соответствующую матрице, полученной на шаге 2 (прямой ход метода Гаусса).
Шаг 4. Единственное решение системы получаем обратным ходом метода Гаусса, решая эквивалентную систему с последнего уравнения, в котором вычислим хn.
Шаг 5. Делаем проверку.
Систему (3.2) можно записать в матричном виде: AX = B. Если
det A ≠ 0, то существует А–1, тогда: 
⇒ ⇒ 
⇒ 
.
Для нахождения решения системы (3.2) с помощью обратной матрицы можно применить алгоритм.
Алгоритм 6
Решение системы АХ = В с помощью обратной матрицы
Шаг 1. Находим обратную матрицу А–1 для матрицы системы А.
Шаг 2. Умножаем обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов
Х = А–1В. (3.4)
Полученный вектор-столбец – искомый набор неизвестных.
Шаг 3. Делаем проверку.
Пример 3.1. Решить систему линейных уравнений:
методом Крамера; с помощью обратной матрицы; методом Гаусса:а) 
; б) 
а) выписываем матрицы: А = 
, В = 
, Х = 
.
1) Воспользуемся формулами Крамера (3.3):
Предварительно вычислим все определители det А и 
(i = 1, 2, 3):
det А = Δ = 
=
–
+ 
= – 21
=
= – 21, 
=
= – 42, 
=
= 21,
= 
= 1, 
= 
= 2, 
= 
= – 1.
Проверка выполняется обязательно для всех уравнений системы:
Ответ: x1 = 1; x2 = 2; x3 = – 1 или Х т = (1, 2, –1).
2) Решим систему с помощью обратной матрицы, применив алгоритм 6.
Шаг 1. Найдем обратную матрицу (воспользуемся результатами примера 2.9):
А–1 = 
;
Шаг 2. Используем формулу (3.4)
Х =
= 
= 
=
=
;
Шаг 3. Проверка сделана в пункте 1).
Ответ: x1 = 1; x2 = 2; x3 = – 1 или Хт = (1, 2, – 1).
3) Решим систему методом Гаусса. Для этого выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (прямой ход метода Гаусса) с помощью элементарных преобразований со строками этой матрицы:
А|В = 
~ 
~
~
~
.
Полученная треугольная матрица соответствует системе:
.
Обратным ходом метода Гаусса найдем все неизвестные. Из последнего уравнения находим х3; подставляя его во второе уравнение, находим х2. Подставляя х2 и х3 в первое уравнение, находим х1.
Ответ: x1 = 1; x2 = 2; x3 = – 1 или Хт = (1, 2, – 1).
Ответ: б) Δ = – 9; x1 = x2 = 1, x3 = 3.
В дальнейшем мы встретимся с необходимостью решать однородные системы второго порядка (n = 2), поэтому рассмотрим построение решения однородной системы AX = 0.
Система имеет вид 
Эти алгебраические уравнения первой степени являются уравнениями прямых в R2.
Рассмотрим два случая det A ≠ 0 и det A = 0:
1) Δ = det A ≠ 0 ⇒ 
– геометрически это означает, что прямые 
и 
не параллельны, т. е. пересекаются (рис. 3.1), точка их пересечения (с1; с2), а алгебраически – система совместная и определенная, ее решение:
с1 = 
= 0, с2 = 
= 0.
Рис. 3.1 Рис. 3.2
2) Δ = det A = 0 ⇒ 
– геометрически это означает, что данные прямые 
и 
совпадают (рис. 3.2), а алгебраический смысл этого равенства – система совместная и неопределенная, т. е. имеет множество решений. Это множество решений можно построить следующим образом: поскольку система содержит одно уравнение 
, а неизвестных в нем два, то одно из неизвестных положим равной произвольной постоянной: х1 = с, тогда
⇒ х2 =
и множество решений имеет вид:
Х =
= с
, а вектор 
=
определяет направление прямой 
= 
.
Замечание. В процессе решения как х1, так и х2 можно положить равными с.
Пример 3.2. Найти решение системы
а)
, б) 
.
а) 
⇒ 
.
Пусть х = с ⇒ y = 2c ⇒ X = 
= c
.
Пусть с = 1, тогда частное решение (одно из множества), определяющее направление прямой 2х – у = 0, равно 
= (1; 2) или
Х = 
.
Ответ: Х = с 
, 
= (1; 2).
Ответ: б) Х = с 
, 
= (1; – 1) или Х = с 
, 
= (– 1; 1).
Задания для самостоятельного решения
3.1. Решите системы линейных уравнений:
а), в), г) – методом Гаусса;
а), б), в) д), е) – используя формулы Крамера и обратную матрицу.
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
3.2. Решите однородные системы линейных уравнений и постройте вектор, указывающий направление прямой:
а) 
; б) 
; в) 
.
3.3. Решите неоднородные системы линейных уравнений:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
