5. Интегральное исчисление функции нескольких переменных
5.1. Двойной интеграл и его свойства
Двойной интеграл по прямоугольнику
Пусть функция z = f(x, y) определена и непрерывна в прямоугольной области D={(x, y)| a ≤ x≤ b, c ≤ y ≤ d} (рис. 5.1).
Разобьем прямоугольник D произвольным образом на ряд прямоугольников со сторонами Δxi, Δyi и площадями ΔSi = ΔxiΔyi, выберем в каждом прямоугольнике произвольную точку Ci с координатами (αi, βi) и вычислим в каждой точке значение функции zi = f(αi, βi) (i = 1, 2, ..., n). Для данного разбиения образуем сумму:
Vn = 
f(α i, β i) ΔS i,.
Можно выполнить разбиение области D на любые другие прямоугольники и образовать аналогичные суммы. Суммы такого вида называют интегральными суммами. Очевидно, что если в прямоугольнике D функция f(x, y)> 0, то сумма Vn представляет собой сумму объемов прямых параллелепипедов с основаниями ΔSi и высотами f(αi, βi). Обозначим через λ длину наибольшей диагонали прямоугольников ΔSi и определим двойной интеграл по прямоугольнику D следующим образом.
Определение. Предел интегральной суммы при λ→ 0, если он существует, называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается следующим образом:
.
Область D называется областью интегрирования, (x, y) – переменными интегрирования, dS = dxdy – элементом площади.
Интуитивно ясно, что если z= f(x, y) непрерывна и неотрицательна в D, то объем области, ограниченный поверхностью z= f(x, y), координатной плоскостью и плоскостями, проходящими через стороны прямоугольника D параллельно оси 0z, равен значению интеграла 
.
Достаточные условия интегрируемости
Сформулируем без доказательства достаточные условия интегрируемости функции.
Функция z= f(x, y), непрерывная в прямоугольнике D, интегрируема в этом прямоугольнике.
Более общий случай. Функция z= f(x, y), определенная и ограниченная в прямоугольнике D, интегрируема в этом прямоугольнике, если все ее точки разрыва лежат на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида y=φ(x) или x=ψ(x).
Если граница области состоит из конечного числа непрерывных кривых вида y=φ(x) или x=ψ(x), то область называется регулярной.
Пример. Пусть функция z = f(x, y) определена в прямоугольнике D с вершинами в точках (0,0), (0,3), (0,2), (3,2) (рис. 5.2) следующим образом:
Очевидно, что эта функция ограничена и непрерывна в каждой точке регулярной области D за исключением одного отрезка прямой x=1, значит она интегрируема в данном прямоугольнике.
Двойной интеграл по прямоугольнику как повторные интегралы
В математическом анализе известна теорема, которая позволяет вычислять двойной интеграл при помощи последовательного вычисления обыкновенных определенных интегралов.
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике D={(x, y)| a ≤ x≤ b, c ≤ y ≤ d}, то справедлива формула:
=
=
.
Более общий случай. Если функция f(x, y) интегрируема в прямоугольнике D, и для каждого x функция f(x, y), рассматриваемая как функция y, интегрируема на [c, d], то справедлива формула:
=
.
Если функция f(x, y) интегрируема в прямоугольнике D, и для каждого y функция f(x, y), рассматриваемая как функция x, интегрируема на [a, b], то справедлива формула: 
=
.
Согласно этим формулам, сначала вычисляется определенный интеграл, стоящий в скобках – внутренний интеграл, (при фиксированном x, если интегрирование ведется по y, и наоборот – y фиксировано, если – по х), а затем от функции, полученной в результате первого интегрирования, вычисляется определенный интеграл по второй переменной.
Пример 1. Вычислить 
, если D – прямоугольник:
D={(x, y)| 1 ≤ х ≤ 2, 0≤ у ≤ π} (рис. 5.3).
Решение.
=
=
=
= 
.
Изменим порядок интегрирования:
=
=
= 
.
Получили один и тот же результат.
Двойной интеграл по компакту
Пусть функция z = f(x, y) определена и ограничена на компакте D (рис. 5.4). Пусть D1={(x, y)| a ≤ x≤ b, c ≤ y ≤ d}– прямоугольник, содержащий внутри себя область D, такой, что отрезок [a, b] равен проекции области D на ось 0x, а отрезок [c, d] равен проекции области D на ось 0y. Доопределим функцию z = f(x, y) до прямоугольника D1 следующим образом:
Функция F(x, y) принимает значения f(x, y) в точках области D и 0 в остальных точках прямоугольника D1.
Двойной интеграл по области D определим следующим образом.
Определение. Двойным интегралом функции z= f(x, y) по области D называется значение интеграла от функции F(x, y) по прямоугольнику D1:
.
Легко заметить, что функция F(x, y) интегрируема в области D1, так как она определена и ограничена в D1, и все ее точки разрыва лежат на границе области D.
Двойной интеграл по области как повторные интегралы
Пусть регулярная область D определена неравенствами 
, гдеφ1(x), φ2(x) – непрерывные в [a, b] функции, φ1(x)< φ2(x) для a<x<b, и любая прямая, проходящая через область параллельно оси 0у, пересекает D не более, чем в двух точках (P и Q). Будем называть такую область нормальной относительно оси 0х.
Пусть D1={(x, y)| a ≤ x≤ b, c ≤ y ≤ d} – прямоугольник, содержащий область D (рис. 5.5).
Пусть функция z= f(x, y) непрерывна в области D.
Тогда можно утверждать, что
,
где 
При фиксированном x функция F(x, y) может рассматриваться как функция одной переменной y и имеет не более двух точек разрыва P и Q.
Тогда для каждого х существует интеграл 
и, следовательно,
.
Выберем произвольное x и обозначим у1 =φ1(x) и у2=φ2(x). Можно записать:
=
+
+
.
Поскольку F(x, y)=0 при c≤yy1 и при y2≤yd, а также F(x, y)=f(x, y) при
y1≤yy2 , то
=
=
=
.
Таким образом для регулярной области, нормальной относительно оси 0х, получим первую формулу для вычисления двойного интеграла через повторные:
=
=
Повторные интегралы иногда обозначают иначе:
=
.
Сначала вычислим внутренний интеграл по у, в котором х фиксировано. В результате получим непрерывную функцию от х. Затем эту функцию интегрируем по х, в результате получим число.
Аналогичные рассуждения можно провести для области D, нормальной относительно оси 0у:
D = {(x, y)| ψ1(у) ≤ х ≤ ψ2(у), c ≤ y ≤ b} (рис. 5.6).
В этом случае двойной интеграл от функции f(x, y) можно вычислить по второй формуле:
=
=
.
Сначала вычислим внутренний интеграл по x, в котором у считается постоянным. В результате получим непрерывную функцию от y. Затем эту функцию интегрируем по у, в результате получим число.
Свойства двойного интеграла
1. Пусть f(хну) = A f1(x, y) + B f2(x, y), тогда
.
2. Пусть область D разбита на две подобласти D′ и D′′, тогда
.
3. Если 0 ≤ f(x, y) ≤ g(x, y), то 
.
4. Модуль двойного интеграла не больше интеграла от модуля:
.
5. Двойной интеграл от единицы численно равен площади области интегрирования D: 
.
Примеры вычисления двойного интеграла.
Пример 1. Вычислить 
, если D – прямоугольник:
D={(x, y)| 1 ≤ х ≤ 2, 0≤ у ≤ π}(рис.5.7).
Решение. Можно воспользоваться как первой, так и второй формулой для вычисления двойного интеграла.
|
=
=
=
= 
. Или по второй формуле:
=
=
=
.Пример 2. Вычислить
по прямоугольнику
D={(x, y)|0≤ х ≤ 2, 1≤ у ≤ e}.
Решение. 
=
. Внутренний интеграл берется по частям, а внешний – табличный:
= 
= [
] |
= (е–е–0+1)⋅2=2.
Пример 3. Вычислить двойной интеграл от функции z=x+y по области D ={(x, y)| 0≤ х ≤ 1, x ≤ у ≤ 
}(рис. 5.8).
Решение. Воспользуемся первой формулой для вычисления двойного интеграла.
=
=
.
В повторном интеграле можно изменить порядок интегрирования, поменяв ролями x и y.
В последнем примере, полагая D ={(x, y)| y2≤х≤y, 0≤ у≤1}, получим
=
.
Пример 4. Вычислить двойной интеграл 
по области D, расположенной в первом квадранте и ограниченной линиями y=x2, x+y=2, x=0, то есть D ={(x, y)| 0≤ х ≤ 1, x2 ≤ у ≤ 2–x} (рис. 5.9).
Решение:
=
Пример 5. Пусть функции f(x) и g(y) непрерывны на отрезках, соответственно, [a, b] и [c, d]. Доказать, что 
,
где D ={(x, y)| a≤х≤b, c≤ у≤d}.
Доказательство.
Имеем: 
=
.
Так как интегрирование по у проводим при фиксированном х, то внутренний интеграл 
=
.
Следовательно, 
=
. Поскольку 
является постоянным числом, то его можно вынести за знак интеграла 
, в результате получим исходную формулу.
5.2. Замена переменных в двойном интеграле
Замена переменных в двойном интеграле производится с целью упрощения области интегрирования.
Замена переменных состоит в том, что переменные x и y заменяют функциями новых переменных u и v:
x=φ(u, v), y=g(u, v).
Функции φ(u, v), g(u, v) непрерывны и имеют непрерывные производные в некоторой области D* и устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D* (D→D*).
Формулу замены переменных приведем без доказательства.
=
Здесь 
– функциональный определитель Остроградского или якобиан (по имени немецкого математика Якоби).
Пример. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл 
, где D – часть круга радиуса R=1 с центром в начале координат, расположенная в первой четверти (рис 5.10, а).
Решение.
1. Переход от декартовых координат к полярным произведем по известным формулам:
Здесь r и φ – полярные координаты (рис. 5.10, а).
2. Из рис. 5.10, а видно, что 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π / 2 и область D преобразуется в область D*:
D*={(r,φ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π / 2 } (рис. 5.10, б)
3. Вычислим якобиан:
.
4. Используя формулу замены переменных в двойном интеграле и учитывая, что x2+y2=r2, получим:
=
=
=
5.3. Технические приложения двойного интеграла
Объем тела
С помощью двойного интеграла, используя его геометрическую интерпретацию, можно определять объемы цилиндрических тел, координаты точек которых удовлетворяют условиям (x, y)∈D, 0≤ z ≤ f(x, y)
Площадь и масса пластины
1. Площадь S пластины можно определять, используя свойство 5, полагая, что граница пластины совпадает с границей области интегрирования:
2. Масса m пластины, выполненной из однородного материала (поверхностная плотность ρ=const) определяется как произведение площади пластины и ее поверхностной плотности.
3. Масса неоднородной пластины с переменной поверхностной плотностью ρ(х, у) вычисляется по формуле, которая может быть получена рассмотренным выше способом построения интегральных сумм и перехода к пределу при стремлении числа разбиений области интегрирования к бесконечности:
m=
Центр тяжести тонкой пластины
Координаты xc, yc центра тяжести тонкой пластины можно определять с помощью двойного интеграла по формулам:
; 
,
где m=
– масса пластины.
Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями
z=2–x–y, x=0, x= 1, y=0, y= 1 (рис. 5.11).
Решение. 
,
где D={(x, y)| 0≤x≤a, 0≤y≤b}.
=
(куб. ед.).
Пример 2. Вычислить площадь пластины, ограниченной двумя линиями x+y=1, x2+y=2 (рис. 5.12).
Решение.
1. Определим абсциссы точек пересечения линий, приравняв ординаты y=1–x и y=2–x2:
1–x=2–x2; x2–x –1=0; x1 =
2. Описываем область интегрирования: D={(x, y) | 
, 1–x≤y≤ 2–x2}.
3. Вычисляем площадь пластины: 
=
=
.
Пример 3. Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной пересечением линий: 
, x=a, a>0 y=0 (рис. 5.13).
Решение. Для пластины из однородного материала поверхностная плотность ρ(x, y)=const, и координаты центра тяжести xc, yc определим по формулам:
1. Описываем область интегрирования:D={(x, y)| 
}.
2. Вычисляем площадь пластины:
.
3. Вычисляем координаты центра тяжести:
.
Задание. Используя двойной интеграл, вычислить площадь пластины, ограниченной линиями, заданными следующими уравнениями:
1. y=x2, y=2x2, x=1, x=2 | 2. | 3. y2=x+4, x=0 |
4. | 5. y=2x2, x+y=1 | 6. y2=x, x2=y |
7. y= | 8. y2=2x, x=2 | 9. y= |
10. y=x2, x+y=2 | 11. x=y2+1, x=5 | 12. y=4–x2, y=0 |
13. y2=4–x, y=2+x | 14. y= 4–x2, y= –1 | 15. x=4y–y2, x=0 |
16. xy=4, x+y=4 | 17. y2=x+1, x=y | 18. y=x2, x = y2–2 |
19. xy=4, x+y= –4 | 20. y=x2, y= –x2 | 21. y2=x+4, x–y=0 |
22. | 23. y=x2–2x, y=x | 24. |
, y=0
, y=0, x=2
, x+y=3, y=0
, y=0, x=2
, y=0
, x–y=2