Численные методы линейной и нелинейной алгебры Методическое руководство к практическим работам по методам вычислений для студентов естественных наук (стр. 7 )

Пусть каким-либо образом для системы (3.1) найдены компоненты -ого приближения и -ого приближения .

Вычислим вектор поправки

.                        (4.1)

Подсчитаем величины

,                                        (4.2)

Расположим величины , в порядке их убывания.

В таком же порядке перепишем уравнения в системе (3.1) и неизвестные в этой системе.

И уже к «новой» системе применим стационарный метод Зейделя. При этом в первую очередь будут уточняться значения тех неизвестных, для которых погрешность в предыдущем приближении была наибольшей. Это и обеспечивает более высокую сходимость метода Зейделя.

5. Метод Некрасова.

Пусть СЛАУ задана в виде

                               (5.1)

Будем решать ее методом Некрасова. Для этого, во-первых, каждое уравнение системы (5.1) разрешим относительно соответствующей переменной (см. метод простой итерации).

                       (5.2)

Систему (5.2) можно записать компактно

, .                                (5.3)

Во-вторых, систему (5.3) будем решать стационарным методом Зейделя по формулам:

, ,                (5.4)

Алгоритм численной реализации метода Ньютона для решения системы (5.1) по формулам (5.4) может быть таким.

Выберем  , например, , Положим . Для всех вычислим . Для всех проверим условия . Если все условия в п.4 будут выполнены, то за приближенное решение системы (5.1) выберем либо , либо и закончим вычисления. Если хотя бы одно условие в п.4 не будет выполнено, перейдем к п.6. Положим и перейдем к п.3.

Изложенный алгоритм можно записать геометрически.

Достаточным условием сходимости метода Некрасова является требование, чтобы матрица A, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных в системе (5.1), была симметричной и положительно определенной.

Задания.

Коэффициенты при переменных и свободные члены в системе уравнений даны в виде расширенной матрицы

Во всех заданиях требуется:

Составить программу численной реализации метода, согласно предложенному алгоритму. Получить результаты вычислений. Проверить полученные результаты.

1.        2.

3. 4.

5.        6.

7. 8.

9.   10.

11.  12.

13.  14.

  15.

Литература

, , Кобельков методы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. , , Чижонков методы в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 2000. , , Самарская и упражнения по численным методам: Учебное пособие. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. , Беленкова методы на базе Mathcad. – Спб.: БХВ-Петербург, 2005.