ОТЗЫВ
официального оппонента Шамгунова Назима Казимовича
на диссертацию Головастова Романа Александровича
"Топологические свойства пространств Стоуна некоторых булевых алгебр"
на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
по специальности 01.01.04 - геометрия и топология.
Развитие теории бикомпактных расширений топологических пространств и ее ветви, теории расширения Чеха-Стоуна счетного дискретного пространства, определило актуальную задачу исследования пространств Стоуна алгебр подмножеств счетных множеств.
Примером такого пространства стало пространство, построенное М. Беллом. Особенностью этого пространства, является то, что его подпространство свободных ультрафильтров удовлетворяет условию Суслина, но не сепарабельно. Эти свойства позволили использовать это пространство для решения ряда сложных задач теории бикомпактных расширений.
Пространство, построенное М. Беллом, является пространством Стоуна булевой алгебры, состоящей из подмножеств частично-упорядоченного множества 
.
Изучение этого пространства естественным образом сделало актуальным задачу исследования пространств Стоуна других булевых алгебр частично упорядоченных множеств, имеющих схожие конструктивные особенности.
Работа посвящена изучению топологических свойств этих пространств.
В работе рассмотрены три вида частично упорядоченных множеств и для каждого из них два вида алгебр подмножеств, которые охватывают основные типы пространств Стоуна подобных булевых алгебр.
Работа состоит из введения и двух глав.
В первой главе приводятся основные сведения, конструкции и свойства пространств Стоуна алгебр подмножеств данного множества. Вводятся рассматриваемые в дальнейшем частично упорядоченные множества и булевы алгебры подмножеств этих множеств, определяются основные топологические свойства и характеристики пространств Стоуна этих алгебр.
Вторая глава содержит основные результаты исследования.
Она разбита на четыре параграфа, каждый из которых посвящен одному из рассматриваемых классов пространств Стоуна.
Первый параграф этой главы посвящен пространству 
, построенному М. Беллом, положившим начало рассматриваемого спектра пространств.
является пространством Стоуна алгебры множеств частично упорядоченного множества 
. Здесь приведены те свойства этого пространства, которые изучаются и в случае остальных пространств, в том числе кардинальные инварианта этого пространства, теоремы 2.3 и 2.4, доказывающие существование копий пространства в�� и сходящихся последовательностей в пространстве 
.
Второй параграф посвящен пространству 
- пространству Стоуна алгебры подмножеств частично упорядоченного множества 
. От множества 
оно отличается тем, что у каждого элемента этого множества существует ровно два элемента, непосредственно следующих за ним. Это ограничение существенно меняет свойства пространства Стоуна.
Одним из определяющих результатов здесь является теорема 2.13, доказывающая существование открыто-замкнутых копий пространства в�� в пространстве 
, а также существование изолированных точек в его наросте.
Основными результатами параграфа и работы в целом являются теорема 2.15, дающая характеристику подмножеств 
., замыкания которых являются открыто-замкнутыми копиями пространства в��, а также примеры 2.1 и 2.2. Первый - это пример подмножества пространства 
, гомеоморфного в��, но не открыто-замкнутого, второй - пример открыто-замкнутого подмножества 
не имеющего изолированных точек в наросте, и не гомеоморфного в��.
Отметим также теоремы 2.17 и 2.18, проясняющие взаимосвязь пространства 
и пространства 
.
Интересными являются теорема 2.16, показывающая связь антицепей и цепей в пространстве 
. и пример 2.3 строгой антицепи, которую нельзя дополнить до полной антицепи.
Третий параграф посвящен пространству 
.-- пространству Стоуна алгебры подмножеств частично упорядоченного множества 
. Это множество отличается от 
. и 
. тем, что у каждого элемента из 
существует бесконечное счетное число элементов, непосредственно следующих за ним.
Это существенно меняет свойства и внутреннее строение пространства Стоуна. Прежде всего, в отличие от двух других, фиксированные ультрафильтры в этом случае не являются изолированными точками в пространстве 
, поэтому его нельзя рассматривать как расширение дискретного пространства 
.
Теорема 2.20 описывает внутреннюю структуру пространства 
.
Основным результатом этого параграфа и работы в целом является теорема 2.22, доказывающая, что подпространство свободных ультрафильтров пространства 
не сепарабельно, а также теорема 2.21, доказывающая, что число Суслина подпространства свободных ультрафильтров пространства 
счетно. Здесь надо отметить, что метод, использованный М. Беллом для доказательства этих основных свойств пространства 
, в данном случае неприменим, и доказательство потребовало нового подхода.
Четвертый параграф посвящен пространствам 
.
и 
.
Эти пространства отличаются от рассмотренных ранее тем, что алгебры подмножеств частично упорядоченных множеств 
, 
и 
имеют другую, более простую структуру.
Основное внимание в этом параграфе уделено выяснению внутреннего строения этих пространств.
Отметим здесь теорему 2.24, описывающую точки пространства 
и теорему 2.26, устанавливающую гомеоморфизм между пространством 
и нигде не плотным совершенным ограниченным подмножеством прямой, построенным в примере 2.4.
Таким образом, работа является цельным исследованием по актуальной теме. Результаты, полученные им, являются новыми и интересными, они безусловно найдут применение в общей топологии, в частности, в теории бикомпактных расширений. Методы доказательств основных результатов являются интересными и могут быть использованы и развиты в дальнейших исследованиях.
Из недостатков работы можно отметить следующие.
Доказательства некоторых утверждений, например, теоремы 2.3, следствия 2.2, предложения 1.10, слишком конспективны. Обозначения, используемые автором, видимо для краткости, оказались таковы, что разные объекты обозначаются одним символом (теорема 2.22), что не критично для понимания. Кроме того при доказательстве теоремы М. Бэлла (теорема 2.1 ), как и при доказательстве теоремы 2.22 пропущены индексы, что не делает доказательство непонятным. Работа содержится ряд синтаксических ошибок. На стр. 5 формулируются семь вопросов, на которые автор отвечает в диссертации. Семь вопросительных предложений и ни одного вопросительного знака. На стр. 53 встретились « не гемеоморфные» подмножества.
Однако указанные недостатки по оформлению не умаляют содержательной части работы и не влияют на высокую оценку работы.
Основные результаты работы опубликованы, в том числе в шести работах из списка ВАК и индексируемых в Scopus, докладывались на ряде международных конференциях.
Автореферат правильно отражает содержание работы.
Таким образом, работа является законченным исследованием по актуальной теме, содержит решение задач, имеющих существенное значение для теории бикомпактных расширений.
Считаю, что диссертационная работа удовлетворяет требованиям "Положения ВАК о порядке присуждения ученых степеней и ученых званий", а заслуживает присуждения ему ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04.- геометрия и топология.
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры математического анализа и теории функций
Уральского Федерального Университета
