Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 15 г. Апатиты

КОНСПЕКТ

интегрированного комбинированного урока

(математика-информатика)

в 9 и 11 классах

«Метод координат на плоскости и в пространстве»



Авторы:

,

учитель математики первой категории

,

учитель информатики высшей категории


Апатиты

2011


«… потомки будут благодарны мне не только за то, что я сказал, но и за то, что я не сказал и тем самым дал им возможность и удовольствие додуматься до этого самостоятельно»

Рене Декарт

Триединая цель:

    Предметная: дать обучающимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем; показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии. Когнитивная: продолжить формирование умений и навыков самостоятельной работы с учебником; в локальной и глобальной сети; обобщении полученных знаний, умении делать выводы. Личностная: создать условия для развития самостоятельности при решении задач; способствовать развитию вычислительной и графической культуры обучающихся.

Тип урока: комбинированный (классификация по основной образовательной цели).

Оборудование: персональные компьютеры, мультимедийный проектор, локальная компьютерная сеть, подключение к сети Интернет.

Дидактические средства: компьютерная презентация «Метод координат на плоскости и в пространстве», модуль «Формула расстояния между двумя точками. Уравнение сферы». Открытая образовательная модульная мультимедийная система (ОМС). Автор: , оценочный лист.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Прикладные программы: MyTest, текстовый редактор MS Word, редактор презентаций MS PowerPoint, САПР КОМПАС, проигрыватель Macromedia Flash Player, открытая образовательная модульная мультимедийная система OMS. exe.

План и хронометраж урока


№ п/п

Вид работы

Время

1

Организационный момент.

2 мин

2

Мотивация учения школьников и сообщение темы и цели урока.

2 мин

3

Актуализация ранее полученных знаний.

7 мин

4

Решение задачи. Уравнение линий поверхности.

8 мин

5

Решение задачи. Задание линии или поверхности уравнением.

8 мин

6

Динамическая пауза.

1 мин

7

Геометрические построения в САПР КОМПАС

9 мин

8

Решение задачи. Уравнение касательной.

8 мин

45 мин

9

Организационный момент.

2 мин

10

Беседа о достоинствах метода координат.

8 мин

11

Доказательство теоремы о сумме квадратов диагоналей.

8 мин

12

Выступление обучающегося с опорой на мультимедийную презентацию «Рене Декарт».

5 мин

13

Применение метода в алгебре.

7 мин

14

Зрительная гимнастика.

1 мин

15

Зачёт (выходной контроль)

10 мин

16

Подведение итогов (рефлексия).

2 мин

17

Сообщение домашнего задания.

2 мин

45 мин

ИТОГО

90 мин

Ход проведения

УРОК I


Организационный момент

Приветствие. Проверка наличия обучающихся. Подготовка к работе.


Мотивация учения школьников и сообщение темы и цели урока

Почему мы проводим такой урок? Уже вторую четверть обучающиеся 9-х и 11-х классов на уроках геометрии изучают одну тему. И мы решили воспользоваться представившейся возможностью показать вам, что изучение математики в школе основано наряду с другими принципами (научность, доступность, наглядность и т. д.) на принципе концентризма. Если изобразить уровень знаний обучающихся 9-х классов окружностью, то концентрическая окружность большего радиуса будет изображать уровень одиннадцатиклассников. Но, учитывая, что процесс обучения непрерывный, нагляднее было бы процесс познания изобразить в виде спирали.

Так как мы возвращаемся часто к тем же вопросам, что изучали раньше, но на более высоком уровне.

Мы решили не упустить и другую возможность. Раз уж собрали вас вместе, то попросили одиннадцатиклассников принять зачёт по решению задач по данной теме у девятиклассников.

Обобщая на сегодняшнем уроке метод координат, мы будем говорить о его достоинствах, универсальности, исключительности.

И, естественно, отдадим дань уважения гениальному автору этого метода.

Итак, записываем тему урока «Метод координат на плоскости и в пространстве»


Актуализация ранее полученных знаний

3.1. Обучающимся задаются вопросы:

    Что такое метод координат? Как называются числа, с помощью которых определяется положение точки? Сколько координат задают положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве?


3.2. Существует небольшой набор формул, используемый при решении задач, доказательстве теорем.


Решение задач. Задача. Уравнения линий поверхностей.

9 класс:

    Написать уравнение окружности ((x – a)2 + (y – b)2 = r2, где  (a;b) – центр окружности, r – радиус). Что задаёт уравнение x2 +y2 = 1 на плоскости? (окружность). Написать уравнение прямой в общем виде и уравнение прямой, проходящей через точки A(x1,y1) и B(x2,y2). (ax + by + c = 0,  (x – x1)/(x1 – x2) = (y – y1)/(y1 – y2)).

11 класс:

    Написать уравнение сферы ((x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = r2 , где (x0; y0; z0) – центр сферы, r – радиус) Что задаёт уравнение x2 +y2 = 1 в пространстве? (цилиндрическую поверхность – прямой круговой цилиндр). Написать уравнение плоскости (ax + by + cz + d = 0)


Задача. Задание линии или поверхности уравнением.

9 класс:

    x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 ((x - 1)2 + (y – 2)2 = 25 - окружность).

11 класс:

    x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 27 ((x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 32 – сфера).

Динамическая пауза.


Геометрические построения в САПР КОМПАС.

9 класс: Из точки М(-7;3) провести касательную к окружности x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0.

11 класс: Из точки М(-7;3;-4) провести касательную к сфере x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 27 = 0.


Задача. Уравнение касательной.

9 класс:

    Из точки М(-7;3) проведена касательная к окружности x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0. Найти расстояние от точки М до точки касания. Сколько касательных к окружности можно провести через точку М?

11 класс:

    Из точки М(-7;3;-4) проведена касательная к сфере x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 27 = 0. Найти расстояние от точки М до точки касания. Можно использовать этот чертёж в стереометрии?


УРОК II


Организационный момент. Электронный тест (входной контроль). О достоинствах метода:
    Основная идея метода заключается в том, что геометрические объекты (точки, прямые, кривые, …) исследуются с помощью соответствующих им алгебраических объектов (уравнений, неравенств, систем уравнений, …). Таким образом, переводя геометрические понятия на язык координат, мы вместо геометрических задач рассматриваем алгебраические.

Проиллюстрируем на простом и хорошо знакомом примере этот процесс.

Вопрос к классу: Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? Ответ хорошо известен. Однако обосновать его чисто геометрическими средствами не так уж просто (особенно для случая пересечения). Использование метода координат упрощает дело, сводя его к исследованию числа решения системы. Рассмотрим частный случай: единичная окружность с центром О и прямой y = a.

  x2 + y2 = 1  x2 + a = 1  x2 = 1 – a

  y = a  y = a  y = a

  Уравнение может иметь единственный корень, два корня и не иметь корней.


    Любой случай расположения прямой и окружности можно свести к частному, если выбрать подходящим образом систему координат. Возьмём центр окружности за начало координат, радиус – за единичный отрезок, а ось OY направим перпендикулярно прямой. Получим такие же уравнения.

Ещё одно достоинство метода координат: свобода выбора системы координат позволяет при решении рассматривать наиболее простые случаи.

С этим встретимся сейчас при доказательстве теоремы.



Доказательство теоремы.

Теорема: Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

9 класс:

  BD2 = a2 + b2 – 2abcosб

  AC2 = a2 + b2 – 2abcos(180° - б) = a2 + b2 + 2abcosб

  BD2 = a2 + b2 – 2abcosб + a2 + b2 + 2abcosб = 2a2 + 2b2

11 класс:

AC2 = (acosб + b – 0)2 + (asinб – 0)2 = a2cos2б + 2abcosб + b2 + a2sin2б = a2 + b2 + 2abcosб

BD2 = (acosб – b)2 + (asinб – 0)2 = a2cos2б – 2abcosб + b2 + a2sin2б = a2 + b2 + 2abcosб

AC2 + BD2 = 2a2 + 2b2

Какой метод понравился больше? Обучающиеся делают вывод об универсальности метода координат.



Выступление обучающегося с опорой на мультимедийную презентацию «Рене Декарт».
Применение метода в алгебре.

Задача. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.

9 класс: f(x) = 3sinx + 4cosx

Рассмотрим векторы и {sinx;cosx}, тогда .

Известно: - || *| * ||

|

11 класс: f(x;y) = 6sinxcosy + 2sinxsiny + 3cosx

Рассмотрим векторы и |

|

Зрительная гимнастика.


Проверка усвоенных на уроке знаний (выходной контроль): зачёт (работа в парах – 11-классники принимают зачёт у 9-классников).
Подведение итогов (рефлексия). Выставление оценок по совокупности за работу на уроке.

Обучающиеся отправляют оценочные листы по локальной сети на сервер учителя.



Сообщение домашнего задания.
    обязательное:

9 класс: Найти наибольшее и наименьшее значение функции

11 класс: Найти наибольшее и наименьшее значение функции

    дополнительное: Ознакомиться с другими система координат – косоугольная, координаты на окружности, полярные координаты, координаты на сфере. творческое: Создать мультимедийную презентацию об использовании фофрмулы расстояния в науке и технике. опережающее: Вывести формулу расстояния между двумя точками в косоугольной системе координат.

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ

Литература:

Автономова, понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя [Текст]/ – М. Просвещение, 1988г. – 127с. К изучению перемещений на координатной плоскости / // Математика в школе – 1983г.- №2 Лускина занятия по  математике в школе: Методические рекомендации [Текст]/ – Киров ВГПУ, 1995г.   Метод координат / А. Савин // Квант -1977г. - №9 Никольская, курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. ср. шк. [Текст] – М. Просвещение, 1991г. – 383с. Упражнения по теме «Координатная плоскость» / // Математика в школе – 2001г. - №10

Ресурсы сети Интернет:

www. nsportal. ru . Метод координат в пространстве. www. revolution. allbest Метод координат. www. exponenta Теоретическая справка. www. Решение задач online.

Электронно-образовательные ресурсы:

Модуль «Формула расстояния между двумя точками. Уравнение сферы». Открытая образовательная модульная мультимедийная система (ОМС). Автор: