«Вариационные методы в математической физике» (стр. 6 )

Исследовать сходимость. Построить графики.

Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 20.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала

.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 21.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала

.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 22.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала

.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 23.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала

.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 24.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала

.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 25.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала

.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 26.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала

.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 27.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Подробно описать методику решения вариационной задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти экстремали функционала

.

Исследовать сходимость. Построить графики.

Получить уравнение Эйлера для функционала, сформулировать соответствующую краевую задачу и построить точное решение.

Сравнить полученные точное и приближенное решения.

Вариант № 28.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.

Задача 2.

Решить задачу стационарной теплопроводности в материале, занимающем квадрат |x| Ј 1, |y| Ј 1, если на сторонах y = ± 1 поддерживается температура 10000С, тогда как на сторонах x = ± 1 задано условие .

Привести вывод стационарного уравнения теплопроводности [1]. Подробно описать методику решения задачи методом Ритца. Используя вариационный метод Ритца, найти распределение температуры на квадрате, используя аппроксимацию, удовлетворяющую краевым условиям только на сторонах y = ± 1. Показать сходимость аппроксимации к краевому условию на сторонах x = ± 1. Построить графики приближенных решений. Построить точное решение задачи и сравнить его с приближенным.

Вариант № 29.

Задача 1.

Найти точно и приближенно экстремаль функционала с закрепленной границей

.

Привести вывод уравнения Эйлера. Решить соответствующую краевую задачу. Подробно описать методику решения вариационной задачи конечно-разностным методом Эйлера. Найти приближенное решение конечно-разностным методом Эйлера.

Показать сходимость полученного приближенного решения к точному при возрастании числа элементов, используемых в аппроксимации. Построить графики решений.