«Вариационные методы в математической физике» (стр. 9 )

Определяем граничные условия:

> bc:=u(0,y)=f(0,y),u(1,y)=f(1,y),

  u(x,0)=f(x,0),u(x,2)=f(x,2);

Таким образом, задача математической физики поставлена: найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

в прямоугольнике , и принимающую заданные значения на границе этого прямоугольника

,

.

Сформулированная задача классифицируется как задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике [1]. Это — неоднородная задача, причем неоднородности присутствуют как в граничных условиях, так и в уравнении.

Чтобы построить решение задачи разобьем ее на две вспомогательные задачи. А именно, будем искать решение задачи в виде суммы двух функций: . Функции и определим как решения следующих задач.

Задача 1: найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

и граничным условиям

,

.

Задача 2: найти функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

и граничным условиям

,

.

Определим эти задачи в Maple.

Задача 1:

> pde1:=diff(u1(x, y),x, x)+diff(u1(x, y),y, y)=

  (1/2)*y*cos(x);

  bc1:=u1(0,y)=0,u1(1,y)=0,

  u1(x,0)=f(x,0),u1(x,2)=f(x,2);

Задача 2:

> pde2:=diff(u2(x, y),x, x)+diff(u2(x, y),y, y)=

  (1/2)*y*cos(x);

  bc2:=u2(0,y)=f(0,y),u2(1,y)=f(1,y),

  u2(x,0)=0,u2(x,2)=0;

Очевидно, решение исходной задачи будет

> u:=proc(x, y) options operator, arrow;

  u1(x, y)+u2(x, y)

  end proc;

Проверим это. Подставим функцию  в уравнение

> simplify(pde, {pde1, pde2});

Как видим, получили тождество. Проверим выполнение граничных условий

> bc;

Таким образом, условия на функцию тоже выполняются.

       Рассмотрим задачу 1. Будем решать ее методом Гринберга [1]. Соответствующая задача Штурма-Лиувилля

очевидно, имеет решение[1]

> X:=proc(x, n) options operator, arrow;

  sin(n*Pi*x)

  end proc;

  lambda:=proc(n) options operator, arrow;

  n^2*Pi^2

  end proc;

Действительно, подставим это решение в уравнение

> Diff(X(x, n),x, x)+lambda(n)*X(x, n) = 0;value(%);

Проверим выполнение граничных условий

> X(0,n)=0,X(1,n)=0;simplify(%,assume=integer);

       Решение задачи 1, в соответствии с методом Гринберга, представим в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

.

Здесь учтено, что квадрат нормы собственных функций равен :

.

Действительно,

> int(X(x, n)^2, x = 0 .. 1);

simplify(%, assume = integer);

Уравнение для трансформанты получим, умножив исходное уравнение в частных производных на и проинтегрировав на отрезке :

> int(lhs(pde1)*X(x, n),x = 0 .. 1) =

int(rhs(pde1)*X(x, n),x = 0 .. 1);

> intPDE1 := simplify(%, assume = integer);

Преобразуем правую часть полученного уравнения

> LHS1:=IntegrationTools[Expand](lhs(intPDE1));

Первый интеграл берем по частям два раза:

> IntegrationTools[Parts](op(1, LHS1), sin(n*Pi*x));

I1 := simplify(%, assume = integer);

> IntegrationTools[Parts](I1, cos(n*Pi*x));

I1 := simplify(%, assume = integer);

Учтем граничные условия

> I1 := simplify(I1, {bc1});

Итак, первый интеграл с учетом преобразовался в выражение

> I1 := subs(op(4, I1) = U1(y, n), I1);

Второй интеграл в выражении LHS1 есть, очевидно,

> I2:=subs(op(2,LHS1)=diff(U1(y, n),y, y),op(2,LHS1));

Таким образом, уравнение для трансформанты получено:

> ode1 := I2+I1 = rhs(intPDE1);

Сформируем граничные условия

> int(lhs(bc1[3])*X(x, n),x = 0 .. 1) =

int(rhs(bc1[3])*X(x, n),x = 0 .. 1);

> bcODE1:=simplify({subs(lhs(%) = U1(0,n), %)},

assume = integer);

> int(lhs(bc1[4])*X(x, n),x = 0 .. 1) =

int(rhs(bc1[4])*X(x, n),x = 0 .. 1);

> simplify({subs(lhs(%) = U1(2,n), %)},

assume = integer);

> bcODE1 := `union`(bcODE1, %);

Находим трансформанту

> res := dsolve(ode1, U1(y, n));

Удобно записать общее решение ОДУ так

> V1:=proc(y) options operator, arrow;

  C1*sinh(n*Pi*y)+C2*sinh(n*Pi*(2-y))+

  (-1+cos(1)*(-1)^n)*y/(-2*n*Pi+2*n^3*Pi^3)

end proc;

Проверим

> subs(U1(y, n) = V1(y), ode1);

simplify(subs(U1(y, n) = V1(y), ode1));