3. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.

ЗАДАНИЕ  1.  Найти область определения функции

и изобразить ее на плоскости.

РЕШЕНИЕ.

       Напомним, что при отыскании области определения функции, т. е. множества точек (x, y), для которых указанные правила имеют смысл, следует учитывать следующие “обстоятельства”: логарифм определяется только для положительных чисел; корни четной степени определяются только для неотрицательных чисел; областью определения обратной функции является множество значений прямой функции; делить на нуль нельзя (так как у нуля нет обратного числа). С формально математической точки зрения нахождение области определения функции сводится к решению (вообще говоря) некоторой системы неравенств.

Для заданной функции область определяется следующей системой неравенств:

 

Изобразим каждое из неравенств “графически” (рис.68):

 

     

Рис.68


Объединяя эти три “результата”, изобразим область определения функции  z.

Рис.69

Ответ. Область определения заданной функции изображена на рис.69.

ЗАДАНИЕ 2.  Вычислить частные производные    и    сложной функции  в точке с координатами .

Замечание. В задаче требуется найти частные производные сложной функции (т. е. исключение переменных    и    не предполагается).

РЕШЕНИЕ.

       Частные производные сложной функции нескольких переменных находятся по правилу “цепочки”. Пусть , ,... Тогда частные производные, например, по переменной находятся по следующему правилу: (аналогично для производных по другим переменным: ,...). В нашем случае . В точке с координатами  переменные  и равны 1. Приведем вычисление производных:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

.

Аналогично,

.

Подставляя в частные производные  , найдем

Ответ.  

ЗАДАНИЕ  3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности    в точке 

РЕШЕНИЕ.

       Для гладкой поверхности уравнение  касательной плоскости и нормали в точке  ()  могут быть записаны в виде:

       а) (касательная плоскость);

       б)   (нормаль).

       Напомним, что  вектор  нормален к поверхности в данной точке.

       В нашем случае    ; частные производные от

,                ,

.

Подставим найденные частные производные в уравнения касательной плоскости и нормали и упростим.

Ответ.  а) Уравнение касательной плоскости:  .

  б) Уравнение нормали: 

ЗАДАНИЕ 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции   в замкнутой области 

Замечание. В данной задаче речь идет о функции, непрерывной в замкнутой области. Как известно, такая функция принимает там свои наибольшее и наименьшее значения. Очевидно, что эти значения достигаются либо в стационарных точках внутри области D, либо на границе Г (в связи с этим замкнутую область обозначим , где , .

РЕШЕНИЕ.

       1. Рассмотрим точки  Найдем стационарные точки (точки, в которых частные производные обращаются в нуль). Вычислим частные производные:

;  .

Запишем систему для определения стационарных точек: , .  Решением ее является точка  , так как ее координаты удовлетворяют условию:  ) . Других точек внутри области  D, в которых функция могла бы принять наибольшее или наименьшее значения, нет.

       2. Найдем граничные точки, в которых функция может принять наибольшее или наименьшее значения. Для этого границу разобъем на четыре части (см. рис. 70) ; граница состоит из отрезков четырех прямых:    и  .  Рассмотрим каждую из частей.

       а) . Подставим в функцию , получим: ,  . Задача формулируется следующим образом: найти наибольшее и наименьшее значения функции , непрерывной на отрезке  . Их она достигает либо в критических точках первого рода в интервале (0,1) , либо в граничных точках    1)  ;  ;   и  ,  откуда находим точку  .  2) Присоединим к найденным точкам еще точки    и .

       б) . После подстановки в , получим задачу:   1) Для внутренних точек отрезка имеем:    и  ,  откуда получим точку  .  2) К найденным точкам присоединим еще граничную точку  .

Для границ   и  проделаем аналогичные преобразования. Так как здесь не появляется ничего принципиально нового по сравнению с рассмотренными ранее случаями, ограничимся лишь выписыванием найденных точек: для    это  M7(-1/2,1/2)  и  ;   “дает”  “подозрительную” точку  M9(-1/2,1/2).

       3. Мы, таким образом, нашли, что наибольшего и наименьшего своих значений в замкнутой области    функция  может достигнуть лишь в следующих точках (рис.70):


.        Вычислим значения функции в точках ( для удобства  введем обозначение  ) :

Рис.70

       Выбирая из этих чисел наибольшее () и наименьшее (), окончательно получим:

Ответ. В указанной области заданная функция принимает наибольшее значение 1  в точках   и наименьшее значение 0 в точке  .

ЗАДАНИЕ  14. Найти производную функции    в точке  по направлению внешней нормали к поверхности  .

РЕШЕНИЕ.

Производная по направлению в декартовой системе координат вычисляется по формуле

,

где есть проекции (координаты) единичного вектора направления, по которому вычисляется производная от функции . В данном примере это есть единичный вектор нормали к поверхности . К поверхности, заданной уравнением , вектор нормали можно вычислить по формуле

=; . В выражении для    величины    есть проекции    на оси координат. Отметим, что в выражении для все величины находятся в заданной точке . Для данной задачи  .

Вычисления дают:

a) для  grad u

,

,

;

b) для вектора нормали к поверхности  :

.

       Поверхность является эллипсоидом. По расположению точки  M0  на поверхности (рис.82) видим, что нормаль  с положительными проекциями на оси x и y является внешней. Найдем модуль вектора

,

.

Рис.82

Найдем единичный вектор нормали  :  .

Для направляющих косинусов будем иметь

.

Таким образом, для производной по направлению получим

.

Ответ. .

ЗАДАНИЕ  15. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля   в точке  .

РЕШЕНИЕ.

Из теории скалярного поля известно, что наибольшую скорость изменения поля в данной точке характеризует градиент поля

.

Вычислим проекции (координаты) градиента на оси координат:

Таким образом, ;

величина скорости есть модуль градиента:

.

Ответ. Наибольшая скорость изменения поля в заданной точке равна .