Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум (стр. 2 )

Формулы (2.3) – характеристики уравнения (2.1).

Тогда общее решение уравнения (2.1) в неявном виде записывается

,  (2.4)

где F – произвольная дифференцируемая функция.

Если требуется найти поверхность , удовлетво-ряющую ДУ

  (2.5)

и проходящую через данную линию, определяемую уравнениями , , то функция F уже не будет произвольной, а определяется путем исключения переменных из системы уравнений:

  (2.6)

Пример.

Найти общее решение уравнения

,  (2.7)

а также интегральную поверхность, проходящую через кривую

.  (2.8)

Решение.

Составим систему уравнений

,

,  ;

,

,  ,  ,

.  (2.9)

Следовательно, общее решение уравнения (2.7) запишет-ся в виде

,  (2.10)

где F – произвольная функция.

Чтобы найти интегральную поверхность, проходящую че-рез линию (2.8) составим следующую систему:

Подставляя , в первое уравнение системы, по-лучим ; так как , то из последнего соотно-шения следует, что . Учитывая, что , , получаем ответ .

График поверхности

Система двух нелинейных уравнений

первого порядка

Рассмотрим систему

  (2.11)

правые части которой непрерывно дифференцируемы в некоторой заданной точке . Это система называется совместной, если существует функция , обращающая оба уравнения системы (10) в тождества в некоторой окрестности точки . Для того чтобы система (2.11) имела семейство решений, зависящее хотя бы от одной произвольной постоянной, необходимо и достаточно, чтобы условие

  (2.12)

выполнялось тождественно относительно в некоторой окрестности точки .

Условие (2.12) называется условием полной интегрируемости системы (2.11). Если условие (2.12) выполнено, то решение системы (2.11) ищется по следующей схеме.

Фиксируя в первом из уравнений (2.12) переменную у и интегрируя полученное уравнение, найдем

,  (2.13)

где – произвольная непрерывно дифференцируемая функция от у. Выбираем так, чтобы функция (2.13) удовлетворяла и второму из уравнений (2.11). В результате мы получим

,  (2.14)

где С – произвольная постоянная.

Уравнения Пфаффа

Рассмотрим уравнения вида

.  (2.15)

Предположим, что функции P, Q, R непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности заданной точки и хоть одна из них отлична от нуля в этой точке.

Пусть .

Тогда

откуда  ,

так как и независимы, то искомая функция должна удовлетворять системе

  (2.16)

Записывая для системы (2.16) условие полной интегрируемости (2.12), придем к уравнению, которое можно преобразовать к виду

или

.  (2.17)

Выражение (2.17) – условие полной интегрируемости уравнения Пфаффа. При выполнении этого условия интегрирования уравнение Пфаффа (2.15) приводится к интегрированию системы (2.16), в результате чего получается семейство решений вида (2.14), содержащее одну произвольную постоянную.

Нелинейные уравнения

Рассмотрим нелинейное уравнение

,  (2.18)

где – искомая функция , , а F – заданная функция от своих аргументов.

Семейство решений уравнения (2.18), заданное в виде

или ,

где а и b – произвольные постоянные, называется полным интегралом уравнения (2.18). Нахождение полного интеграла во многих случаях не вызывает затруднений, например:

если уравнение (2.18) имеет вид или , то полагая , где а – произвольная постоянная, получим ; , откуда – полный интеграл; если уравнение (2.18) может быть приведено к виду , то, полагая , где а – произвольная постоянная, и разрешая, если это возможно, относительно и , получим , , , – полный интеграл; если уравнение (2.16) имеет вид , то, полагая , где , получим . Интегрируя это уравнение, получим , где b - произвольная постоянная, или – полный интеграл; если уравнение (2.18) имеет вид, напоминающий уравнение Клеро:

,