Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум (стр. 3 )

то, как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, полным интегралом является

.

Задание 1

Найти общее решение для каждого из уравнений:

1. ;  2. ;

3. ;  4. ;

5. ;  6. ;

7. ;  8. ;

9. .

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через заданную линию, и построить ее.

10. при ;

11. при ;

12. при ;

13. при ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. .

Решить данные системы уравнений:

24.   25.   26.

27.   28.

29.   30.

Найти поверхности, удовлетворяющие должным уравнени-ям Пфаффа:

31. ;

32. ;

33. ; 

34. ;

35. ;

36. ;

37. ;

38. ;

39. .

Найти поверхности, ортогональные векторным линиям векторного поля:

40. ;

41. .

Найти полный интеграл уравнения:

42. ;  43. ;  44. ;

45. ;  46. ;  47. ;

48. ;  49. ;

50. .

Лабораторная работа № 3

КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО, ПАРАБОЛИЧЕСКОГО

И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПОВ)

Цель: классифицировать все уравнения вида:

.

Уравнение называется линейным относительно старших производных если имеет вид

,  (3.1)

где – функция от .

Если коэффициенты зависят не только от x, y, но и от , то уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных, так и относительно функ-ции ее первых производных:

,  (3.2)

где – функции только от x, y.

(3.2) – линейное уравнение.

Если коэффициенты в (3.2) не зависят от , то уравнение называется линейным с постоянными коэффициентами.

Уравнение называется однородным, если .

Введем новые переменные так, чтобы уравнение (3.1) имело наиболее простую форму. Вычислим вначале частные производные:

       (3.3)

Подставим (3.3) в (3.1):

,  (3.4)

где

Наша цель – сделать так, чтобы коэффициенты и (или и ) обратились в ноль.

Функция не зависит от II производной. Если исходное уравнение линейно, то и уравнение линейно.

Выберем переменные и , чтобы .

Рассмотрим УЧП I порядка:

.  (3.5)

Пусть функция – любое частное решение урав-нения (3.5).

Если положить , то , и задача о выборе новых независимых переменных связана с решением уравнения (3.5).

Лемма 1: Если является некоторым частным решением уравнения (3.5), то соотношение пред-ставляет собой общий интеграл ДУ: