Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум (стр. 6 )

(все остальные слагаемые обратились в нуль, благодаря ортогональности). Решая уравнение относительно Аm, получаем

.

Таким образом, мы получили, что решение записывается в виде

, где коэффициенты определяются по формулам

.

Пример выполнения задания в Mathcad.

Графики температуры в различные моменты времени.

Задания

Покажите, что функции вида  удовлетворяют решению уравнения при произвольных значениях А, В, λ. Покажите, что

УКАЗАНИЕ. Использовать тождество

.

Найдите разложение в ряд Фурье по синусам функции на отрезке [0,1]. Постройте график первых трех-четырех членов разложения. Используя результаты решения задачи 3, найдите решение следующей смешанной задачи:

(УЧП)                 ,

(ГУ)                0<t<∞,

(НУ)  ,  .

(Отметим, что эта задача физически бессмысленна, поскольку подразумевается, что температура на концах стержня мгновенна уменьшается от единицы до нуля. В большинстве задач, если, заданы нулевые граничные условия, то и начальная температура должна обращаться в ноль при х=0 и х=1.)

Найти решение задачи 4, если начальное условие задано в виде

1. ;        

2. .

3. ;

4. ;

5.;                6. ;

7. ;                        8. ;

9.        ;                10. ;

11. ;                12. ;

13. ;        14.;

15. ;                        16. ;

17. ;                18. ;

19. ;                20. .