Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум (стр. 5 )

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ  ПЕРЕМЕННЫХ.

       Цель: познакомить студентов с мощным методом разделения переменных и показать, как можно воспользоваться этим методом для решения хорошо известной диффузионной задачи.

       Основная идея метода состоит в разложении начального условия на простейшие компоненты, нахождении отклика системы на каждую простейшую компоненту и последующего суммирования всех откликов. Так можно найти отклик на произвольное начальное условие.

       Метод разделения переменных – один из методов решения смешанных задач и применяется, когда:

Уравнение является линейным и однородным (не обязательно с постоянными коэффициентами). Граничные условия заданы в виде

где и – константы (граничные условия, заданные в таком виде, называются линейными однородными граничными условиями).

       Рассмотрим смешанную задачу диффузионного типа: найти решение

(УЧП)

удовлетворяющее граничным условиям

(ГУ)

и начальному условию

(НУ)

Наша цель – найти распределение температуры в последующие моменты времени.

Общие принципы метода разделения переменных

       Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных – это поиски решений вида

где – функция, зависящая только от переменной x, а – зависящая только от t. Такое решение является в каком-то смысле простейшим, поскольку температура , представленная в таком виде, будет сохранять «форму» профиля в различные моменты времени t.

Рисунок. График функции в различные моменты времени t.

       Общая идея заключается в том, чтобы найти бесконечное число таких решений уравнения с частными производными (которые удовлетворяют граничным условиям). Эти простейшие функции (называемые фундаментальными решениями) являются как бы элементарными кирпичиками, из которых строится решение нашей задачи. Решение нашей задачи находиться в виде такой линейной комбинации фундаментальных решений , что результирующая сумма удовлетворяет начальным условиям.

Разделение переменных

ШАГ 1. (Нахождение элементарных решений уравнения с частными производными.)

       Найдем функцию , которая является решением следующей задачи:

(УЧП)

(ГУ)

(НУ)

       Будем искать решения, представимые в виде Для этого подставим выражение в уравнение. В результате подстановки получаем

       Теперь выполним операцию, присущую данному методу: разделим обе части последнего уравнения на , в результате чего получаем

Про это выражение говорят, что в нем переменные разделены, т. е. левая часть уравнения зависит только от t, а правая часть – только от x. Так как x и t не зависят один от другого, то каждая часть этого уравнения должна быть константой. Обозначим эту константу k, тогда

или

       Введем обозначение , где не равно нулю (в этом случае выражение – будет всегда отрицательным). С учетом нового обозначения для константы разделения два обыкновенных дифференциальных уравнения запишутся в виде

       Общие решения записываются в виде

(А – произвольная постоянная),

(А, В – производные постоянные).

       Следовательно, функции вида

.

(где А, В и – произвольные постоянные) удовлетворяют УЧП .

       ШАГ 2. (Нахождение решений, удовлетворяющих граничным условиям.)

       Положение сейчас таково: у нас есть бесконечное множество решений исходного уравнения, но не все они удовлетворяют граничным или начальным условиям. Следующий шаг состоит в выборе такого подмножества решений вида

,

которое удовлетворяет граничным условиям

Чтобы это сделать, подставим решения в граничные условия. В результате получаем

Второе граничное условие накладывает ограничение на возможные значения константы разделения л: она должна быть корнем уравнения . Следовательно

Итак, мы закончили выполнение второго шага и располагаем бесконечным набором функций

ШАГ 3. (Нахождение решения, удовлетворяющего уравнению, граничным и начальным условиям.)

       Последний шаг заключается в нахождении такой суммы фундаментальных решений

т. е. в подборе таких коэффициентов , что функция будет удовлетворять начальному условию

.

Подстановка суммы в начальное условие дает

Это уравнение приводит нас к интересному вопросу: можно ли начальную температуру разложить в ряд по элементарным функциям  вида

…

Положительный ответ на этот вопрос дал французский математик Жозеф Фурье. Оказалось, что для достаточно хороших функций такое разложение возможно. Тогда возникает новый вопрос: как найти коэффициенты разложения ?

       Итак, мы хотим найти коэффициенты в разложении

Умножим обе части этого соотношения на sin(mπx) и проинтегрируем от нуля до единицы. В результате получаем