ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
Факультет математики, механики и компьютерных наук
Рассмотрено и рекомендовано УТВЕРЖДАЮ
на заседании кафедры высшей математики и Декан факультета
исследования операций РГУ (зам. декана по учебной работе)
Протокол №_________________ _______________________
"_____"_____________________200 г. _______________________
Зав. кафедрой ________________ "____"_______________200 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
"Дополнительные главы финансовой математики"
вузовского компонента цикла ЕПД
по специальности 01.05.01 Прикладная математика и информатика
Составитель: доц.
Ростов-на-Дону
2006
Пояснительная записка к рабочей программе по дисциплине
«Дополнительные главы финансовой математики»
Курс, читается в 7-ом семестре. Форма занятий: лекции и практические занятия 34 часа. Виды отчетности: индивидуальные задания и зачет. Цели и задачи курса: ознакомить студентов с постановками и методами решения классических задач финансовой математики. Рассматриваются следующие вопросы: арбитраж, хеджирование, оптимальное инвестирование, расчет цен платежных обязательств. При этом привлекаются такие понятия теории случайных процессов, как фильтрации, условные математические ожидания, мартингалы, марковские процессы, разложение Дуба, броуновское движение, формула Ито. Рассматриваются неполные модели рынка в случае дискретного времени и две классические полные модели: биномиальная модель в случае дискретного времени и модель Блэка-Шоулза в случае непрерывного времени.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА
«Дополнительные главы финансовой математики»
34 часа
Тема 1. Основные понятия и задачи финансовой математики
Предмет финансовой математики. Примеры контрактов. Арбитраж. Хеджирование. Оптимальное инвестирование Цены платежных
обязательств. 2 часа
Необходимые сведения из теории случайных процессов. Конечные вероятностные пространства. Разбиения. Фильтрация. Условные вероятности. Условные математические ожидания и их свойства. Мартингалы. 4 часа
(B, S)-рынок и портфель ценных бумаг. Условие самофинансируемости. Дисконтирование. Первая и вторая фундаментальные теоремы финансовой математики. Неполные рынки. Верхняя цена хеджирования. 4 часа
Тема 2. Биномиальная модель рынка
Полнота биномиальной модели. Справедливая цена платежного обязательства. Примеры оценки и хеджирования платежных обязательств: опционы Call, Put, Lookback. 4 часа
Задача оптимального инвестирования: мартингальный подход. 2 часа
Марковские процессы. Использование марковского свойства в задачах хеджирования обычных и экзотических опционов. 2 часа
Моменты остановки. Теорема Дуба об остановке. Наименьший супермартингал, мажорирующий заданную последовательность. Разложение Дуба. 2 часа
Американские опционы. Супермартингальная характеризация цены. Рациональный момент реализации. 3 часа
Тема 3. Модели с непрерывным временем
Случайные процессы с непрерывным временем. Простые инвестиционные стратегии и стохастические интегралы. Семимартингалы и интегралы по
ним. 2 часа
10. Квадратическая вариация и квадратическая ковариация. Броуновское движение и его свойства. 3 часа
11. Формула Ито для семимартингалов с непрерывными
траекториями. 2 часа
12. Допустимые портфели и цены платежных обязательств. Модель Блэка-Шоулза. Уравнение Блэка-Шоулза и его решение.
Цена опциона Call. 4 часа
Литература
Основная
1. Ширяев стохастической финансовой математики. М.:Фазис, 1998.
2. Shreve, Steven E. Stochastic calculus for finance. NY, Springer-Verlag, 2004
3. Рохлин в математические финансы: биномиальная модель рынка ценных бумаг. Мет. указ. для студентов 3-4 курсов механико-математического факультета РГУ, УПЛ РГУ, 2003 г.
4. Рохлин исчисление и финансы. Части I, II. Мет. указ. для студентов 4 курса механико-математического факультета, УПЛ РГУ, 2005 г.
5. Ширяев . М.:Наука, 1980.
Дополнительная
6. Lin X. S. Introductory stochastic analysis for finance and insurance, Wiley, 2006
7. Pliska S. R. Introduction to Mathematical Finance. Discrete-time models. Blackwell, 1997
8. Delbaen F., Schachermayer W. Mathematics of arbitrage. Springer, 2006.
9. , , Нечаев финансовых обязательств. М: ГУ ВШЭ, 2001.
Примеры индивидуальных и контрольных заданий
1. При каких условиях детерминированная последовательность будет мартингалом, субмартингалом, супермартингалом, марковским процессом относительно заданной фильтрации.
2. Пусть в рамках биномиальной модели 
Найти цену и рациональный момент реализации американского опциона с выплатой 
.
3. Пусть 
– выпуклая функция. Используя неравенство
доказать неравенство Иенсена для условных математических ожиданий
.
4. Пусть 
– мартингал относительно заданной фильтрации и 
– выпуклая функция. Доказать, что процесс 
является субмартингалом.
5. Доказать, что для функции, обладающей второй производной, справедлива формула
Дать финансовую интерпретацию представления соответствующего платежного обязательства
6. Доказать, что соотношение
верно как для мартингалов, так и для марковских процессов.
7. Пусть, в обозначениях биномиальной модели, 
Найти 
.
8. Обозначим через 
конечномерное пространство определенных на 
случайных величин со скалярным произведением 
. Доказать, что 
измеримых случайных величин образует подпространство 
пространства 
, натянутое на ортогональный базис 
, где 
– разбиение, порождающее 
.
9. Привести пример, когда есть неэквивалентная мартингальная мера и есть арбитраж.
10. Пусть 
– броуновское движение. Доказать, что процесс 
является мартингалом.
11. Привести пример мартингалов, произведение которых не является мартингалом.
12. Пусть 
– броуновское движение. С использованием формулы Ито доказать, что процесс
является (локальным) мартингалом.
Программа зачета
1. Конечные вероятностные пространства. Разбиения. Фильтрация.
Случайные величины. Случайные процессы.
2. (B, S)-рынок и портфель ценных бумаг. Условие самофинансируемости. Дисконтирование.
3. Арбитраж. Хеджирование. Биномиальная модель рынка.
4. Условные вероятности. Независимость. Прямое произведение вероятностных пространств.
5. Условные математические ожидания относительно разбиений и их свойства.
6. Мартингалы и их свойства.
7. Полнота биномиальной модели. Справедливая цена платежного обязательства.
8. Примеры оценки и хеджирования платежных обязательств:облигация, форвардный контракт, опционы Call, Put, Lookback.
9. Задача оптимального инвестирования: мартингальный подход.
10. Марковские процессы. Использование марковского свойства при хеджировании платежных обязательств.
11. Моменты остановки. Американские опционы.
12. Интегралы по семимартингалам с непрерывными траекториями. Формула Ито.
13. Модель и уравнение Блэка-Шоулза.
