Энциклопедия Математика-М., большая Российская энциклопедия, 1998, 846 стр (стр. 3 )

Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у Диофанта (вероятно, 3 в.) и более систематически — в Индии в 7 в., но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. Ф. Виетом.

Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической.

Период элементарной М. заканчивается (в Зап. Европе в нач. 17 в.), когда центр тяжести математич. интересов переносится в область М. переменных величин. Естественно, что этот переход был подготовлен предшествующим развитием М. Ещё в М. древнего мира на материале изучения тригонометрич. функций и при составлении их таблиц формируются представления о функциональной зависимости. Но, напр., представление об угловом аргументе, изменяющемся от 0 до + °°, и тригонометрич. функциях от такого аргумента возникает только в 16 в. (у Ф. Виета). Греч. натурфилософы и математики начиная с 7—6 вв. и вплоть до 3 в. до н. э. подходят к идее бесконечности и затем к приёмам анализа бесконечно малых, но это течение не получает развития; интерес к нему после попыток целого ряда средневековых учёных возобновляется лишь в эпоху

Возрождения в кон. 16 в. Таким образом,; весь период до 17 в. остаётся в основном периодом элементарной М.

Начало рассматриваемого периода развития М. (греческая, эллинистическая и римская М.) относится к эпохе рабовладельч. общества, вторая же половина —- к эпохе феодального (в Китае, Индии, Средней Азии, на Ближнем Востоке и в Зап. Европе); впрочем, как известно, феодализм в разных регионах приобретает существенно различные формы и развивается неравномерно (сказанное относится и к рабовладению). После бурного расцвета греч. и эллинистич. М. в условиях краха Римской империи приходит к окончательному упадку. В средние века в странах Востока с их большими гидротехнич. сооружениями, развитием мировых торговых центров, возросшими потребностями в крупных геодезич. работах и более практич. тенденциями чиновничьей бюрократии, тесно сращивающейся с купечеством, особенное развитие получает вычислительная сторона М.

В конце рассматриваемого периода на темпы роста западноевропейской М. оказывает влияние процесс зарождения в недрах феодализма нового буржуазного общества. В эпоху Возрождения (15—16 вв.) быстро возрастают запросы к М. со стороны инженеров, строителей, художников, военных, мореплавателей и географов. Вместе с тем создание в университетах возможности более свободной научной критики и научной конкуренции стимулирует решение трудных, казавшихся ранее неразрешимыми задач и более смелое развитие теории.

Древняя Греция. в Др. Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении вычислительной техники, искусства решения задач алгебраич. характера и разработки математич. средств астрономии лишь в эллинистич. эпоху был достигнут и превзойдён уровень вавилонской М., то уже с 7—6 вв. до н. э. М. в Др. Греции вступила в совершенно новый этап логич. развития. Появилась потребность в отчётливых математич. доказательствах, были сделаны первые попытки систематич. построения математич. теории. М., как и всё научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Древнего Востока; она создаётся теперь известными по именам математиками, оставившими после себя математич. сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами). Это изменение характера математич. науки объясняется более развитой общественно-политической и культурной жизнью греч. государств,, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к необходимости отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. Возникновение независимой от религии философской мысли привело к потребности в рациональном объяснении явлений природы, что поставило перед М. новые задачи.

Первоначально теоретич. М. развивалась в рамках натурфилософских систем, причём ранее всего в греч. поселениях на побережье Малой Азии (Иония), средиземноморских островах и на Аппенинском полуострове. Связь с более ранними восточными цивилизациями несомненна, хотя в деталях прослежена быть не может. Сами греки считали себя в области арифметики учениками финикийцев, объясняя высокое развитие арифметики у них потребностями их обширной торговли, начало же греч. геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет (7—6 вв. до н. э.) первых греч. геометров и философов Фалеса Милетского (Иония) и Пифагора Самосского. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметич. прогрессии [в частности, 1+3+5+...4-(2n-1)=n2, изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое), вопросы теории чисел (напр., разыскание т. н. совершенных чисел) связываются в школе Пифагора с мистич., магич. значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геометрич. теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек (“пифагоровых чисел”, т. е. троек целых чисел, удовлетворяющих соотношению a2+b2=c2). Возможно, что эти знания восходят к Вавилону. В области геометрии задачи, к-рыми занимались греч. геометры 6—5 вв. до н. э., также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и навигации. Таковы, напр., вопросы о соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Новым, однако, является подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь приближёнными, эмпирически найденными решениями, греч. геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы. Ярким примером этой новой тенденции может служить доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Во 2-й пол. 5 в. до н. э. философская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах. Здесь протекает основная деятельность Гиппия Элидского и Гиппократа Хиосского, к-рых приписывается первый систематич. учебник геометрии. К этому времени, несомненно, уже была создана разработанная система геометрии, не пренебрегавшая такими логич. тонкостями, как доказательство случаев равенства треугольников и т. п. Отражением в М. первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось едва ли не самое замечательное достижение геометрии 5 в. до н. э.— разыскание всех пяти правильных многогранников — результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными камнями мироздания.

Принципиально новым шагом вперёд явилось возникновение в натурфилософских школах G—5 вв. до н. э. идеи бесконечности, в различных формах получившей применения в М. На границе 5 и 4 вв. до н. э. Демокрит, исходя из атомистич. представлений, создаёт способ определения объёмов, послуживший первым вариантом неделимых метода, одного из исходных пунктов исчисления бесконечно малых. Однако логич. трудности, присущие понятиям бесконечности н нашедшие выражение в апориях Зенона Элейского (5 в. до н. э.), привели к заключению, что результаты, полученные с помощью метода неделимых, нельзя считать строго доказанными. Стандартным приёмом измерения различных площадей п объёмов, не поддающихся определению элементарными средствами, стал исчерпывания метод, состоящий в приближении искомой величины сходящимися к ней снизу и сверху последовательностями известных величин. Так, площадь круга аппроксимировалась последовательностями вписанных и описанных правильных многоугольников с неограниченно возрастающим числом неограниченно уменьшающихся сторон. Возможно, что толчок в этом направлении сообщили первые попытки решить задачу квадратуры круга, вписывая в него правильные многоугольники, получающиеся из вписанного треугольника или квадрата с помощью удвоения сторон: для каждого такого многоугольника можно построить равновеликий квадрат с помощью циркуля и линейки. Рассматривая круг как многоугольник с бесконечным числом сторон философ Антифонт (5 в. до н. э.) сделал вывод, что можно построить с помощью тех же средств п квадрат, равновеликий кругу. Некорректность такого умозаключения была вскоре установлена.

Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 в. до н. э. можно считать связанные с тенденцией к логич. анализу основ геометрии исследования Евдокса Книдского, разработавшего общую теорию пропорций и давшего первое доказательство теоремы об объёме пирамиды, удовлетворявшее возросшим требованиям к строгости математич. выводов. По поводу этого доказательства им было сформулировано общее допущение (называемое часто аксиомой Архимеда), лежащее в основе метода исчерпывания, представляющего собой, по существу, раннюю форму теории пределов. В стороне от главного течения М. в 4 в. до н. э. следует отметить начало математич. разработки механики у Архнта Тарептского — полководца и автора одного из решений задачи об удвоении куба.

Эллинистическая п римская эпоха. С 3 в. до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных и особенно математич. исследований являлась Александрия. Здесь в обстановке объединения различных мировых культур, больших строительных задач и невиданного ранее по своей широте государственного покровительства науке греч. М. достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греч. образованности и научных интересов во всём эллйнистич. и римском мире, Александрия с её “музеем”, являвшимся первым научно-псследоватольским институтом в современном смысле слова, и библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие учёные стекались сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. Наибольшей напряжённостью математич. творчества отличается первый век александрийской эпохи (3 в. до н. э.). Этому веку принадлежат Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний Пергский.

Сложные гидротехнич. сооружения (напр., архимедов винт), требования военной техники (метательные машины Архимеда), запросы мореплавания (исследования Архимеда о равновесии и устойчивости плавающих тел), развитие геодезии и картографии (определение Эратосфеном размеров земного шара), а также разработка точных астрономич. измерений и вычислений (Юлианское приближение к длине года, равное 3651/4 дней), наконец, развитие механики и оптики — всё это поставило перед М. множество новых задач. 3 в. до н. э. явился веком плодотворного соединения соответствующего этим требованиям стремительного развития М. вширь с глубиной теоретич. мысли. В частности, возникший из прикладных нужд интерес к приближённому измерению величин и приближённым вычислениям не привёл математиков 3 в. до н. э. к отказу от математич. строгости. Все многочисленные приближённые извлечения корней и даже все астрономич. вычисления производились ими с точным указанием границ погрешности по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно доказанных неравенств. Это отчётливое понимание того, что приближённая М. не есть “нестрогая” М., было позднее надолго забыто.