Энциклопедия Математика-М., большая Российская энциклопедия, 1998, 846 стр (стр. 4 )

В своих “Началах” Евклид собрал и подверг окончательной логич. переработке достижения предыдущего периода в области геометрии (см. “Начала” Евклида). Вместе с тем в “Началах” же Евклид впервые заложил основы систематич. теории чисел, доказав бесконечность ряда простых чисел и построив законченную теорию делимости. Наконец, “Начала” содержат во второй, шестой и десятой книгах своеобразную геометрич. замену алгебры, позволившую в геометрич. форме не только решать квадратные уравнения, но и производить сложные преобразования квадратичных иррациональных выражений. В стиле этой же “геометрической алгебры” Архимед сформулировал и доказал теорему о сумме квадратов членов арифметич. прогрессии. Из геометрич. работ, не вошедших в “Начала”, наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание Аполлонием Пергским законченной теории конич. сечений. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в т. ч. площадей параболич. сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (напр., шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 в. до н. э. трансцендентных кривых. В ряде случаев вычисления Архимеда равносильны применению интегральных сумм Дарбу и отысканию их пределов; наряду с интеграционными приёмами у него имеются и зачатки дифференциальных методов, применённые при построении касательной к носящей его имя спирали. После Архимеда, хотя и продолжался рост объёма научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины. В астрономии это выразилось в том, что, несмотря на возросшую точность наблюдений и усовершенствования математич. аппарата, вполне усвоенные лучшими умами предшествующих поколений идеи Аристарха Самосского (конец 4 в.— 1-я пол. 3 в. до н. э.) о движении Земли вокруг Солнца и о расстояниях до неподвижных звёзд были отвергнуты и на долгие века утвердилась геоцентрич. система конечной вселенной, подробно изложенная в “Альмагесте” Птолемея (1—2 вв.). В М. зачатки анализа бесконечно малых, содержащиеся в эвристич. приёмах Архимеда (сообщённых им в специальном сочинении “О методе” с указанием на их нестрогость; в окончательном изложении он считал нужным заменять их методом исчерпывания), не получили дальнейшего серьёзного развития.

Существенным недостатком всей М. древнего мира было отсутствие окончательно сформированного понятия иррационального числа. Это обстоятельство привело влиятельных философов 4 в. до н. э. (как, напр., Аристотеля) к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрич. величин. В действительности, в общей теории пропорций Евдокса и в методе исчерпывания математикам 4 и 3 вв. до н. э. всё же удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли не положительное разрешение проблемы путём создания фундаментального нового понятия (иррационального числа), а постепенное её забвение, ставшее возможным с постепенной утратой представлений о математич. строгости. На этом этапе истории М. временный отказ от математич. строгости оказался, однако, полезным, открыв возможность беспрепятственного развития алгебры, допускавшейся в рамках строгих концепций евклидовых “Начал” лишь н чрезвычайно стеснительной форме “геометрической алгебры” отрезков, площадей и объёмов.

Значительные успехи в этом направлении можно отметить в “Метрике” Герона Александрийского (вероятно, 1 в.), известного своими работами по геодезии, составившими основу грандиозной практич. деятельности римских геодезистои. Это замечательное сочинение, являющееся первым дошедшим до нас самостоятельным изложением приёмов вычислительной геометрии, содержит, между прочим, т. н. формулу Герона (известную, впрочем, ещё Архимеду). для площади треугольника (под знаком корня произведение четырёх отрезков — выражение, геометрически бессмысленное). Однако самостоятельное и широкое развитие настоящего алгебраич. исчисления встречается лишь в “Арифметике” Диофанта Александрийского (вероятно, 3 в.), посвящённой в основном решению уравнений. Здесь появляются первые известные нам начатки алгебраич. символики, формулируется правило перенесения членов из одной части уравнения в Другую, производится умножение обеих частей уравнений на одно и то же выражение, даются общие приёмы решения квадратных уравнений, решаются также нек-рые задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, и задачи на неопределённые уравнения с несколькими неизвестными. Диофант ищет всегда положительные решения; однако при умножении алгебраич. выражений употребляет правило для умножения “отнимаемых” чисел, предваряющее позднейшие правила действий с отрицательными числами. Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант, естественно, ограничивается, в отличие от практика Герона, рациональными решениями, исключая тем самым возможность гео-метрич. или механич. приложений своей алгебры. Тригонометрия воспринимается в древнем мире в большой мере как часть астрономии, а не как часть М. К ней так же, как и к вычислительной геометрии Герона, не предъявляется требований полной строгости формулировок и доказательств. Гиппарх (2 в. до н. э.) первый составил таблицы хорд, исполнявшие роль наших таблиц синусов. Начала сферич. тригонометрии создаются Менелаем (1 в.) и Птодемеем. Птолемею же принадлежит инициатива систематич. употребления широт и долгот для обозначения географич. мест, что явилось, по-видимому, первой формой употребления системы координат.

В области чистой М. деятельность учёных последних веков древнего мира (кроме Диофанта) всё более сосредоточивается на комментировании старых авторов. Труды учёных-комментаторов этого времени [Паппа (3 в.), Прокла (5 в.) и др.], при всей их универсальности, не могли в обстановке упадка античного мира привести к объединению изолированно развивавшихся алгебры Диофанта,;

включённой в астрономию тригонометрии, и откровенно нестрогой вычислительной геометрии Герона в единую, способную к большому развитию науку.

Китай. Наличие у китайских математиков высокоразработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраич. методам обнаруживает уже “Математика в девяти книгах”, составленная по более ранним источникам во 2—1 вв. до н. э. В этом сочинении, положившем начало прогрессу М. в Китае вплоть до 14 в., описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел. Большое число задач решается так, что их можно понять только как примеры, служившие для разъяснения отчётливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. В связи с календарными расчётами в Китае возник интерес к задачам такого типа: при делении числа на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на 7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (3 в.) и более полно Цзинь Цзюшао (13 в.) дают изложенное на призерах описание регулярного алгоритма для решения таких задач. Как правило, впрочем, в задачах вычислительной геометрии пользовались приближённым значением л, равным 3. Примечательно, что наряду с этим был сформулирован т. н. принцип Кавальери, применённый к сравнению объёма тара диаметра d с объёмом тела, заключённого между поверхностями двух вписанных в куб d3 цилиндров со взаимно перпендикулярными осями. Ранее объём этого тела, равный (2/3)d,