Экзаменационные ответы по физике))) гр.9491, 9492, 9494, 9495, 9496, 9497 Ос. Сем. 2009г (стр. 7 )

Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение,
равна (72).

22. Математический и физический маятники. Приведённая длина физического маятника. Центр качаний.

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятник.

Математический маятник - идеализированое система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Например тяжелый шарик, на длинной тонкой нити.

a-амлитуда колебаний, т.е наибольший угол, на который отклоняется маятник от положения равновесия.

Отклонение маятника от положения равновесия характеризуют углом µ. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент N, равный по величине mglsinµ. Он имеет такое направление что стремиться вернуть маятник в положение равновесия.

N=-mglsinµ

При малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону  µ=acos()

Период колебания математического маятникаT=2р

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим.  N=-mglsinµ

m-масса маятника. l-расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника

Период колебаний физического маятника  T

приведенная длина физического маятника, это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебания данного физического маятника.

Точка, лежащая на прямой на расстоянии от точки подвеса маятника называется центром качания маятника

23. Сложение гармонических колебаний одного направления. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Сложение гармонических колебаний одного направления.

Если материальная точка участвует одновременно двух гармонических колебаниях с одинаковой циклической частотой,  то происходит сложение гармонических колебаний. Рассмотрим несколько наиболее простых случаев сложения гармонических колебаний.

Сложений двух колебаний одного направления.
1. Круговые частоты и фазы колебаний одинаковы, амплитуды различны: x1=A1 sin , x2=A2 sin
тогда x1+x2=(A1+A2) sin = A sin

2. Круговые частоты и амплитуды одинаковы, фазы различны: x1=A sin , x2=A sin ),

где - разность фаз. Тогда
В результате возникает гармоническое колебание такой же частоты, но отличающееся по фазе от
первичных колебаний на половину разности фаз этих колебаний. Амплитуда  , меньше
суммы амплитуд первичных колебаний.

3. Амплитуды одинаковы, круговые частоты мало отличаются друг
от друга: : x1=A sin ,  x2=A sin ,  тогда,
Результирующее колебание оказывается не гармоническим так как оно не соответствует уравнению

x=A sin

Сложение взаимно – перпендикулярных колебаний.

Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний:
1. Круговые частоты и фазы одинаковы, амплитуды различны: x=A1 sin , y=A2 sin
где x и y - смещения тела, вызванные первым и вторым колебаниями. Тогда . .

Величина результирующего смещения: , где амплитуда  результирующего колебания.
2. Круговые частоты одинаковы, фазы различаются на , амплитуды различны:
x=A1 sin , y=A2 sin   , тогда. Это уравнение Эллипса.

Следовательно, результирующее движение тела совершается по эллипсу, полуось которого равны амплитудам
слагаемых колебаний.

Если A1=A2=A, то уравнение эллипса переходит в уравнение окружности, и тело  будет описывать окружность.

24. Затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды

Вследствие сопpотивления свободные колебания всегда pано или поздно затухают. Рассмотpим пpоцесс затухания колебаний. Допустим, что сила сопpотивления пpопоpциональна скоpости тела.

(4.22)
(коэффициент пpопоpциональности обозначен чеpез 2mγ из сообpажений удобства, котоpое выявится позднее). Будем иметь в виду случай, когда за пеpиод колебания его затухание невелико. Тогда можно считать, что затухание слабо скажется на частоте, но отpазится на амплитуде колебаний. Тогда уpавнение затухающих колебаний можно пpедставить в виде

(4.23)
Здесь А(t) пpедставляет некотоpую убывающую функцию, котоpую тpебуется опpеделить. Будем исходить из закона сохpанения и пpевpащения энеpгии. Изменение энеpгии колебаний pавно сpедней за пеpиод pаботе силы сопpотивления, т. е.
  (4.24)
Разделим обе части уpавнения (4.24) на dt. Спpава будем иметь dx/dt, т. е. скоpость v, а слева получится пpоизводная от энеpгии по вpемени. Следовательно, с учетом (4.22)

(4.25)
Но согласно (4.21) сpедняя кинетическая энеpгия <mv^2/2> pавна половине полной энеpгии. Поэтому можно записать, что (4.26)