четверть

3

предмет

математика

класс

8

Образовательный минимум

Модуль « Алгебра»


1

Квадратное уравнение

Квадратным уравнением называется уравнение

вида ax2 + bx + c  = 0, где а, в, с – заданные числа, а≠ 0, х – неизвестное.

Примеры:  х2 = 9, х2 = х + 3,  х2 + 5х – 36 = 0

Нахождение дискриминанта, и формулы корней квадратного уравнения.

D = b2 – 4ac - дискриминант

Если D > 0  - уравнение имеет два корня 

X1 =   X2 =

Если D = 0  - уравнение имеет один корень  X1 =

Если D < 0  - корней нет

Неполные квадратные уравнения и способы их решения

Квадратное уравнение называется неполным, если в=0 или с=0, или вив одновременно равны 0.

ax2 + bx=0 ( отсутствует коэффициент с)

Метод решения - вынесение переменной за скобку

Например, 2х2-5х=0

Х(2х-5)=0

Х=0 или 2х-5=0

  Х=2,5

ax2 + c  = 0 ( отсутствует  коэффициент с)

Метод решения - перенести неизвестные в левую часть, известные в правую, разделить на коэффициент перед неизвестным, записать ответ

Например, 4х2-36=0

  4х2=36  /:4

  х2=9,

  х1=3,х2=-3

ax2  = 0

х=0

Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.

Если а = 1, квадратное уравнение называется приведенным.

Для решение приведенных квадратных уравнение удобно пользоваться теоремой Виета:

Сумма корней приведенного уравнения  x2 + px + q = 0 

равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком,

а произведение корней равно свободному члену q:
x1 + x2 = - p
x1x2 = q

В случае неприведенного квадратного уравнения

ax2 + bx + c = 0:
x1 + x2 = - b / a
x1x2 = c / a

Сравнение чисел

Число а больше числа в, если разность а и в положительное число; Число а меньше числа в, если разность а и в отрицательное  число;

Например, а-в= -0,09, значит, а˂в

  с –к = 5,6, значит, с˃к

Свойства числовых неравенств

 Если а > b, то b < а, и, наоборот, если а < b, то b > а. 2. Если a > b, a b > c, то а > с. Если а > b, то для любого числа с а + с > b + с, а — c > b — с.

Иными словами, если к обеим частям числового неравенства прибавить или от обеих частей отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится.

Следствие. Любое слагаемое одной части числового неравенства можно перенести  в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.

Пусть а > b. Если с > 0, то аc > bc. Если же с < 0, то ас < bс.

Иными словами, если обе части числового неравенства умножить( или разделить) на положительное число, то неравенство не нарушится;
если обе части неравенства умножить( или разделить) на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Сложение и умножение числовых неравенств

 Если a < b и c < d, то a + c < b + d.

Если почленно сложитьверные неравенства одного знака, тополучится верное неравенство

Если a < b и c < d, где a, b, c, d – положительные числа, то ac < bd. Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которого положительные числа, то получится верное неравенство.

Модуль геометрия

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?


Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Теорема, обратная теореме  Пифагора

Есликвадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Определение подобных треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Коэффициент подобия

Число к, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Определение средней линии треугольника

Средняя линия треугольника это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Среднее пропорциональное отрезков

Отрезок ХУ называется средним пропорциональным для отрезков АВ и СМ, если выполняется равенство

ХУ=√АВ*СМ

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Основное тригонометрическое тождество.

sinІб + cosІб = 1

Таблица значений для основных углов