Исследовательская работа «Метод отделяющих констант» (стр. 2 )

Рассмотренный прием доказательства неравенств вовсе не следует считать каким-то изысканным, случайным, редко применимым. Напротив, для непрерывных функций этот прием можно считать универсальным. В самом деле, пусть, например, непрерывные функции заданы на отрезке, причем прикинув вид этих графиков, мы  обнаружили,

что вроде бы на всем этом отрезке справедливо неравенство. Как можно было бы доказать справедливость этого неравенства?

Если для всех справедливо неравенство, то графики функций не имеют общих точек, и потому можно провести «ступенчатую ломаную» (рис. 3), отделяющую график функции от графика функции. Но это и означает, что отрезок можно разбить на несколько меньших отрезков, на каждом из которых существует отделяющая  константа.

Разумеется, в этом рассуждении речь идет лишь о принципиальной возможности доказать неравенство методом отделяющих констант. В каждом же конкретном случае искусство применения этого приема состоит в том, чтобы найти подходящее разбиение отрезка  на части и для каждой из этих частей указать соответствующую отделяющую константу.

Итерации

В общем случае затруднительно дать рекомендации, как подбирать разбиение на части и соответствующие отделяющие константы. Однако в некоторых случаях такие рекомендации предложить  можно.

Пусть, например, обе функции — возрастающие (или обе убывающие), причем. [1] Проведем прямую (рис. 4) и рассмотрим точку ее пересечения с графиком функции. Абсциссу этой точки обозначим через. На отрезке за отделяющую константу можно принять число. Действительно, на всем этом отрезке выполнены неравенства, Причём, первое неравенство обращается в равенство лишь в левом конце отрезка, а второе — лишь в  правом.  Отсюда

ясно,  что  на  всем  отрезке   выполнено  неравенство.

Заметим, что отделяющая константа является в некотором случае наилучшей, если взять за, константу, меньшую, чем, то отрезок, на котором «действует»  эта  константа,  уменьшится.

Теперь проведем прямую и получим отрезок , на котором является отделяющей константой; затем проведем прямую и гак далее (рис. 4). В результате мы разобьем отрезок   на части и для каждой из этих частей получим отделяющую константу, тем самым доказав справедливость неравенства на всем отрезке  .

Проведенное рассуждение можно формализовать следующим  образом[6].

Мы начинаем с точки .

Если для некоторого k = 0, 1, ... уже известна точка, то мы находим такую точку, что .

Повторением этого процесса (или, как говорят в математике, итерацией) мы по , находим, затем по, находим и так далее. Если после нескольких итераций нам удастся добраться до правого конца отрезка, на котором заданы функции , то неравенство    будет  доказано.