Исследовательская работа «Метод отделяющих констант» (стр. 1 )

Профессиональный конкурс работников образования

ВСЕРОССИЙСКИЙ ИНТЕРНЕТ – КОНКУРС

ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

(2012/13 УЧЕБНЫЙ ГОД)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ – СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 76

Номинация конкурса: Педагогические идеи и технологии: среднее образование

Исследовательская работа

«Метод отделяющих констант»

Автор: , учитель математики высшей категории МБОУ СОШ № 76

Место выполнения работы: МБОУ СОШ № 76, 440071,

2012-2013 уч. год

Содержание

Введение……………………………………………………………………………...3

Доказательство  неравенств …………………………………………………4

2. Итерации…………………………………………………………………….…7

3. Решение  уравнений…………………………………………….…………....10

4. Рациональность доказательства того или иного конкретного неравенства методом отделяющих констант…………………………………………..…12

Заключение………….……………………………………………………...……….14

Ресурсы……………………………………………………………………………...15

Введение

Чтобы получить высокий балл на ЕГЭ по математике, надо уверенно решать задачи не только части В, но и группы C. Проведение ЕГЭ в течение последних лет, показало всем, что нужно быть готовым к любым неожиданностям на экзамене. Умение выбрать наиболее выгод­ный метод решения конкретной зада­чи зависит от практических навыков, от умения «видеть» графики, от вла­дения понятием производной и дру­гими средствами исследования функ­ций.

Данный проект является актуальным т. к. он показывает практическую пользу «Метода отделяющих констант» при решении многих задач.

Появилась гипотеза: метод отделяющих констант может применяться не только для доказательства неравенств, но и  для решения уравнений.

Поэтому цель исследования: выяснить, что «Метод отделяющих констант» является рациональным при решении многих неравенств и уравнений.

Объект исследования: неравенства и уравнения.

Задачи:

Проанализировать литературу, посвященную теме «Метод отделяющих констант»; Разбить материал на логические части; Разработать комплекс практических заданий по теме; Сделать выводы о практической значимости «Метода отделяющих констант».

За последние годы в практику экзаменационных работ ЕГЭ по математике вошли задачи, решение которых удобно начинать с нахождения множества значений, принимаемых некоторыми функциями. Иногда решение задачи на этом и заканчивается — из полученных результатов сразу следует ответ; в других случаях знание множества значений функции резко сокращает объем работы, указывает кратчайший путь к ответу.

О некоторых особенностях применения этого метода и рассказывается в данном проекте.

Доказательство  неравенств

Начнем со следующей задачи.

Пример 1. Доказать неравенство [2]

  (1)

Для решения достаточно заметить, что луч представляющий собой  множество  значений  функции

не  пересекается  с  множеством  значений функции

то есть с отрезком  

Можно сказать и иначе: существует такое число с (например,), что для всех справедливы неравенства (рис. 1), откуда и следует справедливость не только неравенства (1), но и более сильного

для любых, то есть всегда

В более сложных примерах уже не удается найти константу с, «отделяющую» значения функции   от значений функции на всей области их задания, но можно разбить числовую прямую на несколько промежутков, на каждом из которых существует своя отделяющая константа.

Пример 2. Доказать неравенство [4]

  (2)

В этом случае на луче   (то есть  при  )  такой отделяющей константой  является (рис. 2), а на луче можно взять отделяющую константу.

Разумеется, график на рисунке 2 лишь иллюстрирует сказанное; полное же доказательство, основанное на идее отделяющих констант, можно изложить, например, следующим образом.  Функция

при всех (и, в частности, при) удовлетворяет неравенству, то есть.  С  другой  стороны,  функция  

при   принимает  значение 

а слева от точки эта функция возрастает, поэтому при  при.  Итак,   при, то есть при этих значениях х неравенство (2) справедливо. Осталось рассмотреть  значения.

Заметим, что  , причем функция —возрастающая, поэтому, при. Что же касается функции, то при любых (и, в частности, при) мы имеем. Таким образом, при, то есть и при этих значениях x неравенство (2)  справедливо.