Второе уравнение этой системы имеет корни из которых лишь корень удовлетворяет первому уравнению. Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень  .

Пример  5. Решить уравнение [5]

.  (5)

Решение:

Это уравнение можно записать в виде , где

  .

Так как то  для всех . В то же время для всех x, принадлежащих области определения функции Следовательно, на луче число является отделяющей константой для функций и . Отсюда вытекает, что неотрицательное число может быть корнем уравнения (5), только если оно удовлетворяет системе уравнений

Первое из этих уравнений, как легко видеть, имеет корни из которых только удовлетворяет второму уравнению. Итак, уравнение (5) имеет лишь один неотрицательный  корень

Теперь посмотрим, нет ли отрицательных корней. Так как при функция не определена, то отрицательные корни надо искать лишь на луче   Но при мы имеем

а по определению функции Таким образом, отделяющей константой для и на луче   (в тех точках x, в которых функция определена) является, например, число

Следовательно, рассматриваемое уравнение не имеет отрицательных корней, то есть — единственный корень уравнения  (5).

Заметим в заключение, что, несмотря на его универсальность, метод отделяющих констант не всегда является самым удобным средством для доказательства того или иного конкретного неравенства. Например, для доказательства неравенства на интервале  (см. пример 3) можно было бы использовать тот факт, что производная функции

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

равная    обращается в нуль только в одной точке этого интервала, а именно при    В этой точке значение  функции    положительно:

В концах же интервала функция принимает бо҆льшие значения:

  и    если    (но ).

  Отсюда  можно сделать вывод, что в точке функция, рассматриваемая на интервале , принимает на­именьшее значение, и потому , то есть   на всем этом интервале. Таким образом, применение производной даст в дан­ном случае более простое решение.

Напротив, при решении неравен­ства (при­мер 2) для нахождения корней производной придется решать урав­нение третьей степени, так что здесь метод отделяющих констант рацио­нальнее.

Умение выбрать наиболее выгод­ный метод решения конкретной зада­чи зависит от практических навыков, от умения «видеть» графики, от вла­дения понятием производной и дру­гими средствами исследования функ­ций.

Заключение

В процессе работы над данным проектом была установлена

практическая значимость «Метода отделяющих констант» при решении многих задач.

Была подтверждена гипотеза проекта, реализованы все поставленные задачи и установлено, что «Метод отделяющих констант» является рациональным при решении многих неравенств и уравнений.

       

Ресурсы

Квант физико-математический журнал для школьников и студентов: М., № 4, 2008; . , , Пособие по математике для поступающих в вузы (М., «Наука», 1976, гл. IV, § I); . ЕГЭ. Математика. Задания типа С. М. «Экзамен», 2010; . Решение сложных и нестандартных задач по ма­тематике. М. «ИЛЕКСА», 2007; http://kvant. mccme. ru/; http://www. math. ru/lib/.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4