Исследовательская работа «Метод отделяющих констант» (стр. 3 )

Пример 3. Найти корни уравнения [3]

,         (3)

лежащие в интервале

Решение:

Функции на интервале возрастают. Несколько первых итераций здесь выглядят следующим образом (значения функции берутся с недостатком):

;

;   

;   

   

   

   

   

После двух десятков итераций удается добраться до правого конца интервала. Этим устанавливается, что на всем этом интервале справедливо неравенство и, следовательно, уравнение (3) на рассматриваемом интервале корней не имеет.

Заметим теперь, что, проводя итерации, мы заранее не знаем, удастся ли нам добраться до правого конца отрезка (то есть удастся ли нам доказать справедливость неравенства   на всем отрезке). А как будут выглядеть итерации в случае, когда графики функций, заданных на отрезке , пересекаются, то есть неравенство выполняется не на всем отрезке?

Рисунок 5 наглядно показывает, что тогда в результате бесконечной последовательности итераций мы будем получать числа  которые приближаются к корню х* уравнения; точнее, число

  представляет собой наименьший корень этого уравнения, содержащийся на отрезке . Следовательно, с помощью последовательных итераций мы сможем приближенно вычислить этот корень.

Указанный прием часто применяется в вычислительной практике для приближенного вычисления корней уравнений. Вообще, в современной математике очень важную роль играют различные итерационные методы, дающие возможность не только с любой степенью точности решать уравнения, но и даже доказывать теоремы.

Решение  уравнений

Метод отделяющих констант может применяться не только для доказательства неравенств, но и, в некоторых случаях, для решения уравнений, и притом не приближенного, а точного  решения.

Пример  4. Решить уравнение [2]

  (4)

Решение:

Запишем уравнение в виде

  то есть в виде , где

, 

Очевидно, что для любого справедливы неравенства

Отсюда ясно, что некоторое число только в том случае может удовлетворять равенству , то есть быть корнем уравнения (4), если выполнены равенства, то есть если   является  решением  системы