Введение (стр. 2 )

В случае, если — средняя линия и — высота, формула площади:

, где

Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным , и углом при основании :

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Элементы окружности:
Радиус — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Любые две не совпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен радианной/градусной мере дуги, на которую опирается. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей.

Свойства :

Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу, проведённому в точку касания. Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°. Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°. Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими. Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой. При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой. Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Основные формулы:

Длина окружности:

Радиус окружности:

Диаметр окружности:

Площадь круга радиуса R:

Треугольник - геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки.

Лучи, отрезки и точки:

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах называется срединным треугольником

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности. Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают.  Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.

Теоремы и площади:

  Теорема синусов :
,

где — радиус окружности, описанной вокруг треугольника

2)Теорема косинусов :

3)Через основание и высоту

S = 1 ah 2

4)  Формула Герона :

Через две стороны и угол :

S = 1 ab sinб 2

Через радиус вписанной окружности :
Через радиус описанной окружности :

Площадь прямоугольного треугольника :

S=1/2*a*b

Решение планиметрических задач

Задача 1. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB =12, CH = 5.

а) Докажите, что четырёхугольник АКЕВ можно вписать в окружность.

Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 градусов.

Отметим одинаковым цветом равные углы:

(Сумма острых углов прямоугольного треугольника).

Тогда ∠AKE+∠EBA=, следовательно, около четырехугольника AKEB можно описать окружность.

Начертим окружность, описанную около четырехугольника AKEB

Нам нужно найти радиус этой окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник LAB. ∠LAB – вписанный угол, который опирается на диаметр LB, и, следовательно, ∠LAB=

В этом треугольнике мы знаем катет АВ. По условию задачи АВ=12. Найдем второй катет. Для этого рассмотрим четырехугольник LACH:

.

∠AHL=∠EHB=∠ALH=∠ALH=∠ACH, и четырехугольник LACH – параллелограмм:

AL=CH=5 ( По условию).

Итак, задача свелась к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника LAB:

, отсюда R=6,5

Ответ: 6,5

Задача №2. Из вершины С тупого угла ∆АВС проведена высота СН. Точку Н соединили с серединами M и N стороны АВ и ВС.

а)Докажите, что в четырехугольнике CMHN можно вписать окружность;

б)Найти R, если сумма сторон АС и ВС=20. S=24смІ

       

а) Докажем что в четырехугольник CMNH можно вписать окружность.

Отметим одинаковым цветом равные стороны :

Медиана HM прямоугольного треугольника ACH равна половине его гипотенузы AC, т. е. HM=AC. Аналогично HN=BC.
Поэтому HM+HN=AC+BC=CM+CN