Введение (стр. 1 )

                Введение

  Интерес к теме «Планиметрические задачи» обусловлен тем, что это не  простая тема, очень много подобных задач встречается на олимпиадах по математике. Задачи, которые  мы предлагаем рассмотреть, обладают некоторой особенностью. Эти задачи содержат в условии некоторую неопределенность, которая позволяет понимать условие неоднозначно. В результате приходится строить несколько чертежей, удовлетворяющих условию задачи. Подобные задачи называют многовариантными. Перебор вариантов является частью решения задач такого типа. Заметим, что перебор может сократиться за счет дополнительной информации, указанной в условии задачи.

  А также данные задачи, под номером 18, содержатся в едином государственном экзамене, который нам предстоит сдавать в следующем году.

  Нашей работой мы добьемся тройного результата. Во-первых, мы постараемся  понять, как правильно решать такие задачи, ведь это не так просто. Во-вторых, научившись сами решать планиметрические задачи, мы сможем помочь другим. То есть, когда мы научимся решать такие задачи, мы сможем донести полученную информацию другим ребятам. А, в-третьих, эта работа принесет нам пользу, так как, научившись решать планиметрические задачи, мы принесем себе дополнительные баллы в едином государственном экзамене, которые нужны нам для поступления в высшее учебное заведение. Все что нам нужно для решения многовариантных задач, мы знаем уже с курса 7-9 классов, будет достаточно все повторить.

  Таким образом, цель нашей работы - разобраться и понять, как правильно подбирать варианты решений к таким задачам, что бы безошибочно их выполнять.
  Из поставленной цели вытекают  задачи:
Во-первых, повторить весь нужный материал по планиметрическим задачам.
Во-вторых, изучить задачи данного вида и способы их решения.
В-третьих, подобрать набор задач для подготовки к выполнению 18 задания ЕГЭ по математике.
  Для успешного выполнения всех задач, нужно быть терпеливыми и внимательными. Ведь внимательность — это луч света, который освещает в темноте то, что для нас важно. Любое дело, которое вы делали долго, но невнимательно — теряет свою ценность.

  Первая  глава работы содержит  необходимый теоретический материал для решения  планиметрических задач.

Далее  приводятся примеры решения подобных задач.

В заключении представлен подбор заданий по данной теме для самостоятельного решения.

Необходимый теоретический материал для решения  планиметрических задач

  Итак, одну из задач мы можем воплотить в реальность в самом начале. А именно повторения нужного материала по планиметрическим задачам. Как упоминалось выше, весь нужный материал мы изучали с 7 по 9 класс.
Нам нужно повторить материал по планиметрии.

  Итак, что такое планиметрия? Планиметрия – это радел геометрии, изучающий двумерные фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.

Фигуры в планиметрии, которые мы будем повторять:
1. Параллелограмм.
2. Квадрат.
3. Прямоугольник.
4. Ромб.
5. Трапеция.
6. Окружность.
7. Треугольник.

Первая фигура, на которую мы обращаем внимание – это параллелограмм.
Параллелограмм – это   четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

  B  C

A  h  D

Свойства параллелограмма:
1) Противоположные стороны параллелограмма равны.
  AB=CD  BC=AD

2)  Диагонали пересекаются и  точкой пересечения делятся пополам.
  BO=OD  AO=OC

3)  Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°( по свойству параллельных прямых).

4)  Сумма всех углов равна 360°( сумма углов многоугольника = 180( n - 2), где n кол-во углов).

5) Если в параллелограмм можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Формулы для нахождения площади параллелограмма:

S=a*h, где a-сторона параллелограмма, а h-высота, опущенная на эту сторону. S=a*b*sin x, где a и b – стороны параллелограмма, а  x – угол между сторонами a и b. S= Ѕ * d1 * d2 * sin x, где d1 и d2 – диагонали параллелограмма, а х – острый угол при пересечении диагоналей.

Следующая фигура – это квадрат.

Квадрат – это правильный четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны.

  А  В        

 
  D

  D  С

Свойства квадрата:

Равенство длин сторон.

AB=BD=DC=CA

Все углы прямые и следовательно равны между собой.  Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Формулы для нахождения площади квадрата и его частей:

  Пусть t — сторона квадрата, R — радиус описанной окружности, r —  радиус вписанной окружности. 

Тогда центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей

1) Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

,
2)  Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

,

периметр квадрата равен:

площадь равна

.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

          A  a  B

  b

  C  D

Свойства :

Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны попарно параллельны. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора). Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали). Длины диагоналей прямоугольника равны. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

Площадь и стороны:

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон. Величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его длину.
S=a*b, где a – длина, b – ширина. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.

P=2*(a+b ), где a – длина, b – ширина.

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

       В

  H

  A  C

  D

Свойства:

Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).

Площадь ромба:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

,

где — угол между двумя смежными сторонами ромба.

Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол :

 

Фигура №4. Трапеция – это четырёхугольник, как минимум две

противоположные стороны которого параллельны. Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — это боковые стороны.

Виды трапеций

  B  C  B  C 

  A  D  A  D

  Равнобокая  прямоугольная

  B  C

  A  D
  обычная

Элементы трапеции:
1) Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
2) Две другие стороны называются боковыми сторонами.
3) Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Свойства:
1)  Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме..
2)  В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции. равна сумме её боковых сторон.
3) Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, подобные.
4) Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
5) Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружности:

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё,  можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).  В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°. Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность. Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка.

Площади:

В случае, если и — основания и — высота, формула площади: