Введение (стр. 5 )

Ответ:

Планиметрические задачи  второй  части  ЕГЭ по математике

1.Через вершины  В  и С  треугольника АВС  проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках К и М соответственно.

а ) Докажите подобие треугольников АВС и АМК.
б)Найдите площадь АМК, если АВ = 2, ВС = 4,АС = 5, АК = 1.

2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на стороне АВ выбрана точка К так, что отрезок СК разбивает исходный треугольник на два равнобедренных треугольника.
а) Докажите, что СК-биссектриса угла АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если АС=4.

3. В выпуклом четырёхугольнике АВСD точки K, M,N и Р-середины сторон АВ, ВС, СD и  AD соответственно. Отрезки АМ и СК пересекаются в точке Е, а отрезки  AN и СР-в точке F.

а ) Докажите, что три медианы произвольного треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.
б) Найдите площадь четырёхугольника AECF, если площадь четырёхугольника ABCD равна 12.

4. Через вершины Ви С  треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках К и М  соответственно.

  а) Докажите подобие треугольников АВС и АМК.

  б) Найти площадь треугольника АМК, если АВ = 2,ВС = 4,АС=5,  АК =1.

5. Дан квадрат ABCD. На сторонах ВС и CD выбраны точки К и N так, что ВК=КС  и СN:ND = 2 :1.Отрезки АК и BN пересекаются в точке Т.

а) Докажите подобие треугольников КТМ и АТВ, где М-середина BN.

б) Найдите площадь треугольника ВТА, если площадь четырёх-

угольника KCNTравна 13.

6. В окружности проведены хорды АС и ВD, пересекающиеся в точке Е, причём касательная к окружности, проходящая через точку С, параллельна ВD.

  а) Докажите подобие треугольников ВАЕ и СDE, СDE и CAD.

  б) Найдите площадь треугольника CDE, если известно, что АВ:ВЕ=3:1 и SADC=18.

7. В параллелограмме АВСD на стороне ВС взята точка М.

  а) Докажите, что площадь треугольника АМD не зависит от положения точки М.
  б) Найдите синус угла между диагоналями параллелограмма АВСD в случае, если площадь  АМDравна 2, а диагонали параллелограмма равны 2 и 8.

8. Внутри выпуклого  четырёхугольника площадью S произвольным образом выбрана точка. Эта точка отображается симметрично  относительно середин его сторон. Полученные четыре точки являются вершинами нового четырёхугольника.

  а) Докажите, что построенный четырёхугольник  является параллелограммом.

  б) Найдите его площадь.

9. Две противоположные стороны АВ и СD выпуклого  четырёх-

угольника АВСD лежат на перпендикулярных прямых.

  а) Докажите, что четырёхугольник, вершины которого являются серединами сторон ВС и АD и серединами диагоналей АС и ВD,

есть прямоугольник.
  б) Найдите площадь этого прямоугольника, если АВ=3, СD=4.

10. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

  б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы  первых двух равны 6 и 2.

11. Три окружности  радиусов 2,4 и 6 касаются друг друга внешним образом.

  а) Докажите, что окружность, проходящая через точки касания данных окружностей, является вписанной в треугольник с вершинами в их центрах.

  б) Найдите радиус этой окружности.

12. На диаметре АВ  полукруга взята точка С, и в полукруге на отрезках  АС и СВ  как диаметрах построены два полукруга. Из точки С поставлен перпендикуляр к АВ  и с обеих сторон (от него) построены два круга, касающиеся как этого перпендикуляра,  так и обоих перпендикуляров.
  а) Докажите, что  радиусы построенных кругов равны.

  б) Найдите их радиус, если АВ=12 и АС :СD=1:3.

13. Боковые стороны трапеции лежат  на перпендикулярных прямых.

  а ) Докажите, что четырёхугольник с вершинами в серединах диагоналей и в серединах оснований трапеции - прямоугольник.

  б) Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 7, а стороны рассмотренного  выше прямоугольника равны 6 и 2,5.

14. В треугольник АВС вписана окружность с радиусом R, касающаяся  стороны АС  в точке D, причём  AD=R.

а) Докажите, что треугольник АВС - прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается  сторон АВ и ВС  в точкахЕ  и F соответственно.

Найдите площадь треугольникаBEF, если известно, что R=5 и СD=15.

15. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С на гипотенузе взята точка D. На отрезке СD как на диаметре построена окружность, пересекающая катеты ВС и СА в точках Е и F соответственно, причём угол FEC равен углу ВАС.

  а) Докажите, что CD-высота треугольника АВС.

  б) Найдите площадь четырёхугольника DECF, если ВС=а, а СА=b.

16. В треугольнике АВС вписана окружность радиусом R, касающаяся стороны АС  в точке D, причём АD =R.

  а) Докажите, что треугольник АВС - прямоугольный.

  б) Вписанная окружность касается сторон АВ и ВС в точках  Е и F.

Найдите длину отрезка ВЕ, если известно, что R=2 и CD=3.

17. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника AB1C1.

a) Докажите, что C1Q - биссектриса угла AC1B1.

б) Найдите расстояние от точки O до центра окружности, вписанной в треугольник AB1C1, если известно что BC=7, AB=15, AC=20.

Заключение

  Мы ознакомились с непростой темой, а именно - «Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии». Стоило это больших усилий, но в итоге это оказалось интересно и принесло нам большие результаты. Мы разобрались и поняли, как правильно подбирать варианты решений к таким задачам, для этого мы повторили всю теорию и прорешали разные виды задач. Считаем, что теперь сможем постараться решить планиметрическую задачу, которая встретится нам в едином государственном экзамене. До этого мы даже не решались приступить к её решению..  Надеюсь,  мы обязательно принесем себе дополнительные баллы!

  Советуем вам рассматривать для вас новые и интересные темы. Учитесь так, словно вы постоянно ощущаете нехватку своих знаний, и так, словно вы постоянно боитесь растерять свои знания. Если запастись терпением и проявить старание, то посеянные семена знания непременно дадут добрые всходы. Ученья корень горек, да плод сладок.

Список используемой литературы:

. А.. Г Корянов Подготовка к ЕГЭ. Решение планиметрических задач (С4)

http://matematiku. narod. ru/planar_geometry. htm

http://easymath. /show_material. php? subp=plani..

http:///studyguide/geo/sec/geo7.htm

http://math4school. ru/treugolniki. html#spr701

http://ru. /math/formula/rectangle

http://www. yaklass. ru/p/geometria/8-klass/chetyrekhug..