Введение (стр. 3 )

Сумма противоположных углов четырехугольника CMNH равны. Следовательно в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Что и требовалось доказать.

Б) Найдем радиус окружности.

Пусть S – площадь четырехугольника CMNH, p – его полупериметр, r-радиус вписанной окружности.

Тогда:

S=+ =+ = = 12

p=HM+HN=ЅAC+ЅBC=Ѕ(AC+BC)=10

r= = = 1,2 

Ответ: 1,2

Задача №3. Бис­сек­три­са угла ADC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке E. В тре­уголь­ник ADE впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AE в точке K и сто­ро­ны AD в точке T.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые KT и DE па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те угол BAD, если из­вест­но, что AD = 6 и KT = 3.

а) Докажем, что прямые KD и DE параллельные.

Прямые AE и CD параллельны, a DE — биссектриса

ADC,  поэтому ∠AED = ∠CDE = ∠ADE.

Значит, треугольник ADE равнобедренный, AD = АЕ

Отрезки АK и AT касательных, проведённых к окружности из точки A, равны. Значит, треугольник ATK также равнобедренный, причём угол при вершине A у этих треугольников общий.

Поэтому ∠ATK = ∠ADE. Следовательно, KT || DE.

Что и требовалось доказать.

Б) Пусть окруж­ность ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния DE рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ADE в точке М. Тогда M — се­ре­ди­на DE. Обо­зна­чим DM = x. Тогда DT = DM = x, AT = AD − DT = 6 − х.

Тре­уголь­ник ATK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ADE, по­это­му  =   или  = . Отсюда на­хо­дим, что x = 3. Тогда DE = 2х = 6.

Зна­чит, тре­уголь­ник ADE рав­но­сто­рон­ний.        

Сле­до­ва­тель­но, ∠BAD = ∠EAD = 60°.        

Ответ: 60

Задача №4. Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть B и C — его высоты. Из точек B и C на прямую  опущены перпендикуляры B и C соответственно.

а) Докажите, что =.

б) Пусть BC=12, sinB=, sinC=найти

       

а) Заметим, что четырёхугольник BC является вписанным, так как ∠BC=∠BC=90˚.

Пусть в треугольнике ABC ∠BAC=б, ∠ABC=Я, ∠ACB=г.

Тогда из прямоугольного треугольника BC :

  ∠ B=90˚−Я;

из прямоугольного треугольника BC :

  ∠ BC=90˚−г.

Четырёхугольник BC является вписанным, а значит: 

∠B =∠BC =90˚−Я,

  ∠C =∠CB =90˚−г.