=z/,   (13а)

  (13б)

Амплитудная функция  А  является медленно меняющейся  функцией  на  масштабах  волны.  Умножим  обе части уравнения (3а) на , уравнения (3б) на и  сложим эти  уравнения, после осреднения по периоду волны в линейном приближении  получим  уравнение  для огибающей А  :

  (14) 

  где  +  ,

  +-  (15) 

компонеты групповой скорости вдоль осей X  и Y соответственно. 

здесь  ,   

В стационарном случае уравнение (14) преобразуется к виду:

  ,  (16)

где -координата вдоль луча, -групповая  скорость.

Пространственные производные функции  следующим образом выражаются через градиент

    (17)

Осредним исходные уравнения движения  (3) по периоду волны,  получим с точностью  до членов, квадратичных  по  амплитуде волны  уравнения для средних полей, индуцированных волной  в слабонелинейном приближении  (черта сверху означает осреднение по периоду волны):

= 

  (18a) 

=  

  (18б)

  (18в) 

)  (18г) 

  (18д) 

Волновые напряжения , , выражаются с помощью  (6,7) через :

=- 

=+   (19) 

= 

= 

Из анализа системы  (18)  с учётом  (19)  следует, что индуцируемые волной средние поля плотности , давления и  скорости  течения  следует искать в виде:

,  ,  (20)  ,    ,   

Система уравнений  для  функций   следует из (18)  после подстановки (19)  и (20) при использовании соотношений (16),(17). Данная система сводится к неоднородной системе линейных дифференциальных уравнений, которую запишем в матричном виде:

  (21)

где А - матрица размрностью 88 , элементы которой являются постоянными (не зависящими от z величинами):

   

Все  остальные элементы матрицы А равны 0. Столбцы и имеют вид:

   

где

Система дифференциальных уравнений (21) решается аналитически при следующих граничных условиях: и при . Окончательно индуцируемые волной поля скорости течения и плотности определяются по формулам:

,  ,  , 

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6