Разработка урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме: "Определенный интеграл"

Разработка урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме: "Определенный  интеграл".

Тип урока: комбинированный

Цель и задачи урока

Цель: Обеспечить закрепление понятия интеграл, способы его вычисления, применение интеграла для вычисления площадей. Сформировать навыки планирования ответа, навыки самоконтроля.

Задачи:

- обучающие

Отработать навыки вычисления первообразных для функций.

Отработать навыки вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона–  Лейбница.

-развивающие

Способствовать развитию интеллектуальных качеств личности школьника: самостоятельность, гибкость, способности видеть проблему, обобщать, переключаться с одного вида работы на другой.

Развивать эмоции учащихся, создавая эмоциональные ситуации удивления, сопереживания.

Развивать познавательный интерес, создавая игровые ситуации.

- воспитательные

Содействовать воспитанию аккуратности, организованности, дисциплины,

Формировать умения работать коллективно, в группе, паре, самостоятельно.

Прививать интерес к предмету посредством применения современных информационных технологий.

Ход урока:

1.Организационный момент

Приветствие, сообщение темы и цели урока

2. Повторение

Перед  изучением темы  повторим  следующие вопросы  дифференциального исчисления:  понятие производной,  правила дифференцирования,  производные  основных элементарных  функций  (степенной,  синуса, косинуса,  тангенса, котангенса).

-  Устно решим несколько примеров на нахождение  производной:

а) …  ;  б) …  ;  в) …  ;  г) ….

- Какая связь существует между производной функции и первообразной?

Ответ: Функция F (х) называется первообразной на заданном промежутке для функции f(x), если для всех х из этого

промежутка .

  1.Что означает высказывание: «Функция есть одна из  первообразных функции Зх2 для R»?

2. Укажите какие-либо три функции, отличные от функции х3  и являющиеся первообразными для

функции Зх2.

3.  Запишите множество первообразных функции Зх2.

4.  Сформулируйте определение первообразной.

Основное свойство первообразной:

Если функция F (х) — одна из первообразных для  f(x)  на неко­тором промежутке, то множество

всех первообразных этой функ­ции имеет вид F (х) + С,  где С  - любое действительное число.

График каждой первообразной F (х) + С функции f(x)  может быть получен из графика F (х) при помощи параллельного пере­носа

Для выделения конкретной первообразной из множества всех первообразных

F (х) + С нужно задать дополнительные (началь­ные) условия, например координаты одной точки, через которую проходит график искомой первообразной

Учитель: Если  функция  имеет  первообразную,  то  она  имеет  бесконечно  много  первообразных,  отличающихся  постоянными  слагаемыми.  Так,  функция    для    имеет  первообразные: 

1.Найдите первообразные функций: а)   б)   в)    Укажите  область

определения каждой функции и ее первообразной. (используется в ЕГЭ)

СЛАЙД

2.Найдите первообразные  для функций: (Фронтально)

а)                        б)                        в)

                                         

В это время у доски работает ученик

а)        б)          в)    г)   

Проверяет его работу другой учащийся

Остальные отвечают на вопросы:

1.  Как найти первообразную функции f(x)+g(x)?

2.  Как найти первообразную функции kf (x)  (k — постоянная)?

3.  Как найти первообразную функции f(kx + b) (k и b — по­стоянные)?

Класс работает в тетрадях и у доски

Для  функции  найдите первообразную  ,  если известно,  что  .

Решение.

 

Задача.( ЕГЭ 2010) F1(x) и F2 (x) – две различные первообразные функции f(x), причем  F1(3)=8, F2(5)=12, F1(5)=14. Найти F2(3). Ответ : 6

3.Проверка домашнего задания ( заранее на доске)

Точка движется  прямолинейно с ускорением    Найдите  закон движения точки, если  в момент времени её  скорость равна  10 м/с,  а  координата  равна 12 (единица измерения  ускорения равна 1 ).

Решение.

Вспомним физический смысл производной:  , 

т. к. ,  то  значит, →

т. к. ,  то  значит, →

Ответ: - закон движения точки

4. Изложение нового материала

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май 1684, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…». Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

Сегодня и мы познакомимся с этим методом - вычислением первообразной на некотором отрезке. Независимо друг от  друга два великих  Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц получили формулу, которая используется для  вычисления первообразных. Она получила название определенного интеграла и имеет вид : 

  (зх2-2х +1) dx=  б)  21 cos (3x -)dx =

Работа по задачнику: с. 165, № 49.1-49.5 (А, Б), №

Задача.1 Тело движется прямолинейно со скоростью ν(t)=6t+4 м/сек. Найти длину пути, пройденного телом за третью секунду ( Третья секунда – значит от2 до 3с)

Задача2. Линейная плотность ρ(l) неоднородного стержня длиной 36 см изменяется по закону ρ(l)=3l2+4 гр/см. Найти массу стержня (от 0 до 36см)

Задача3. Величина тока изменяется по закону I(t)=4t3+1 А. Найти количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за первые 12 сек.(от 0 до 12с)

Задача4. Силой 90 Н пружина растягивается на 0,01м. Первоначальная длина пружины 0,40 м. Какую надо совершить работу, чтобы растянуть пружину до 0,45 м?

5.Итог урока.

Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели, называет лучших учеников, лучшую команду, называет оценки, отмечает вопросы, по которым ребятам еще нужно работать, указывает на основные ошибки, планирует индивидуальную работу с теми учащимися, которые допустили ошибки

Первообразная и интеграл.

F(x) - первообразная для f(x) на множестве Х если F'(x) = f(x) для всех xX. Если F(x) - первообразная для f(x) на множестве X, то F(x) + c - множество всех первообразных для f(x) на множестве X. Это множестве первообразных называют неопределенным интегралом и обозначают Таблица первообразных и интегралов

Производная	Функция	Первообразная	Промежуток
0	K	kx + C	R
0	1		R
-sinx	cosx		R
Cosx	sinx		R
			x<0
			x>0
			R+
			R
			R

Правила вычисления первообразных

- Если F – первообразная для f, a G  - первообразная для g, то F+G есть первообразная

для f+g.

-Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.

Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k0, то есть есть первообразная для f(kx+b).

4) - формула Ньютона-Лейбница.

5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a, x=b и графиками непрерывных на промежутке [a;b] функций и таких, что для всех x [a;b] вычисляется по формуле

6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:

  или 

Применение интеграла.

Величины	Вычисление производной	Вычисление интеграла
s – перемещение, , А – ускорение	a(t) =
A - работа, F – сила, N - мощность	F(x) = A'(x) N(t) = A'(t)
m – масса тонкого стержня, - линейная плотность	(x) = m'(x)
q – электрический заряд, I –сила тока	I(t) = q(t)
Q – количество теплоты с - теплоемкость	c(t) = Q'(t)

Задание на дом : §49, № 49.1-49.4 (в, г), 49.8(в, г)