Методические указания к выполнению типового расчёта «Предел функции» (стр. 2 )

| f(x) - A | < ε  при  | x | > Δ.                        (9)

На рис. 4 дано геометрическое истолкование неравенств (9), если х → + ∞. При х → - ∞  иллюстрация аналогичная. Например,  .

Замечание 1. Неравенства (9) по аналогии с неравенствами (1) означают, что функция f(x), имеющая предел при х→ ∞, ограничена при х → ∞. Но и при х → х0,  и при  х → ∞ обратное утверждение неверно: из ограниченности функции не следует существование её предела. Так, f(x) = sinx - ограниченная функция на всей числовой оси, так как | sinx | ≤ 1. Но не существует, так как  sinx  колеблется между - 1 и + 1, и ни к какому пределу при  х → ∞ не стремится.

Замечание 2. Теоремы о пределах, сформулированные в пункте 2 для случая х → х0 (х0 ≠ ∞), остаются справедливыми и для функций, имеющих предел при х → ∞.

4. БЕСКОНЕЧНО  БОЛЬШИЕ  И  БЕСКОНЕЧНО  МАЛЫЕ  ФУНКЦИИ, ИХ  СВОЙСТВА

       Функция f(x) называется бесконечно большой при  х → х0, если для любого положительного числа М  найдётся такое число  δ  > 0, что | f(x) | > M, как только 0 < | x - x0 | < δ.

Бесконечно большая величина f(x) при x → х0 обозначается выражением .

Если , то функция α(x)  при х → х0 называется бесконечно малой.

Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые функции при х → ∞.

       Бесконечно большие и бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:

Сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию является бесконечно малой функцией

Следствие. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Если  f(x) - бесконечно большая функция, φ(x) - неограниченная функция при x → x0 (x → ∞), то произведение f(x)⋅φ(x) есть функция бесконечно большая при x → x0 (x → ∞). Частное от деления бесконечно малой функции при  х → х0  на функцию, предел которой при  х → х0  отличен от нуля, является бесконечно малой функцией. Функция a(x), определённая и не равная нулю в некоторой окрестности точки  х0,  кроме,  быть может,  самой точки х0, является бесконечно малой при х → х0 тогда и только тогда, когда функция при  х → х0 является бесконечно большой.

Замечание 1. Очевидно, что бесконечно большая функция является функцией неограниченной. Обратное, вообще говоря, неверно: неограниченная функция  не всегда есть  функция  бесконечно  большая.  Например,  функция при х → 0 является неограниченной, но не бесконечно большой. Действительно, при х → 0 функция , но , так как в любой окрестности нуля принимает сколь угодно малые значения.

5. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

       Запись  х → х0 - 0 обозначает процесс, в котором переменная величина х неограниченно приближается к постоянной величине х0 слева, оставаясь меньше х0:  х → х0  и  x < x0.  Аналогично,  х → х0 + 0:  х → х0  и  x > x0.

       Числа и называются соответственно левым и правым односторонними пределами функции f(x) в точке х0.

       Конечный предел A функции f(x) при х → x0 существует тогда и только тогда, когда в точке х0 существуют и равны односторонние пределы функций:

.

6.  НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ ВИДА

Предел  , в котором f(x) и φ(x) - бесконечно большие величины при  х → х0, без вспомогательных преобразований не определён, так как в таких пределах не выполнены условия теоремы о пределе частного. Вспомогательные преобразования, позволяющие найти рассматриваемые пределы, называются раскрытием неопределённости. Раскрытие неопределённостей сводится к нахождению предела отношения двух бесконечно больших величин. Стандартным преобразованием, раскрывающим такую неопределённость, является деление на старшую степень числителя.

Пример 2. Найти пределы:

Решение. В каждом из выписанных примеров числитель и знаменатель при х → ∞ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорему о пределе частного непосредственно применять нельзя. Чтобы обойти эту трудность, разделим числитель и знаменатель почленно на старшую степень знаменателя. Тогда в знаменателе получится ограниченная при х → ∞ величина, и к полученной после деления на х2 или х дроби теперь можно применять теорему о пределе частного.

а) разделив числитель и знаменатель на х2 - старшую степень знаменателя, получим:

,

так как и - бесконечно малые функции  при  х → ∞;

б) членом, содержащим старшую степень в знаменателе в примере б), является х. Разделим числитель и знаменатель почленно на х и, учитывая, что , при  х → ∞, находим

,

так как числитель при  х → ∞ является бесконечно большой функцией, а в знаменателе ;

в) разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя  х:

,

поскольку  ;

г) старшей степенью знаменателя является х2. Разделив числитель и знаменатель на х2, получим:

,

так как числитель полученного выражения является бесконечно малой функцией при х → ∞, ибо , а .

7. НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ ВИДА

При вычислении  , в котором f(x) и φ(x)  - бесконечно малые величины при х → х0, теорема о пределе частного непосредственно не применима, так как условие теоремы в данном случае не выполнено. В данном случае принято говорить, что имеется неопределённость вида «ноль, делённый на ноль» , или просто «ноль на ноль». Вычисление предела в подобной ситуации называется «раскрытием неопределённости ноль на ноль». Следующие примеры иллюстрируют некоторые стандартные приёмы раскрытия таких неопределённостей:

Пример 3. Найти:

Решение. а). Числитель и знаменатель дроби стремится к нулю при  х → - 11: . Поэтому в примере а) имеет место неопределённость вида «ноль, делённый на ноль». Для раскрытия неопределённости разложим числитель на множители, решив, предварительно, квадратное уравнение 2х2 + 23х + 11 = 0:

.

Тогда . Таким образом,

;

б) дробь  в  пределе  при  х → 2  имеет неопределённость . Для раскрытия неопределённости  нужно  знаменатель  разложить  на  линейные  множители:  х2 - 2х = х(х - 2), а в числители избавиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на выражение , сопряжённое знаменателю. При этом