и искомый предел

Пример 6. Найти пределы:

Решение. Во всех случаях примера 6 имеется неопределённость вида . Избавимся от неё, используя эквивалентные соотношения (16) и (17):

а) при х → 0 имеем: ln(1 + sin2x) ~ sin2x ~ 2x. Знаменатель разложим на множители и получим

;

б) если х → 3, то х - 3 → 0 и, согласно (17), arctg(x - 3) ~ x - 3. Тогда

;

в) на основании формулы преобразуем тригонометрическое выражение . Учитывая, что при , а в числителе предела разность экспонент и что при х → 0 e3x → 1, e2x - 1 ~ 2x, получаем:

;

г) преобразуем числитель, воспользовавшись правилом логарифмирования дроби: . Тогда . Далее, чтобы воспользоваться эквивалентным соотношением ln(1 + α) ~ α, преобразуем дробь под знаком логарифма:

При х → 0 дробь и . Тогда

10. ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. ЧИСЛО e

Для раскрытия неопределённостей вида 1∞ используется второй замечательный предел:

(18)

и его следствие

. (19)

Обратите внимание на существенную деталь: в формулах (18) и (19) слагаемое в основании, прибавляемое к единице, и показатель степени - взаимно обратные величины. На практике чаще приходится встречаться с более общей формой равенств (18) и (19). Именно,

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, (20)

, (21)

где .

Пример 7. Найти пределы:

Решение. В каждом из примеров основание степени под знаком предела стремится к единице, а показатель является бесконечно большой функцией. Поэтому нужно раскрывать неопределённость вида 1∞.

а) выражение под знаком предела преобразуем таким образом, чтобы получилась формула (18) для второго замечательного предела:

так как ;

б) дробь приведём к виду , чтобы можно было применить второй замечательный предел:

Тогда

Так как

то ;

в)

так как , ибо sinx ~ x при х → 0;

г) приведём выражение под знаком предела к виду (21):

Здесь по формуле (21) функция α(x) = cos2x - 1 = -(1 - cos2x) = 2sin2x→ 0 при х → 0. Тогда

11. Непрерывность функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если выполнены следующие три условия:

функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0; существует

; этот предел равен значению функция f(x) в точке х0:

. (22)

Если приращение аргумента обозначить через Δx = x - x0, а приращение функции - через Δy = y - y0, то формулу (22) можно переписать в виде:

Последняя формула означает, что бесконечно малому приращению аргумента непрерывной функции соответствует бесконечно малое приращение функции. Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то такая функция непрерывна.

Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непрерывной в этой области.

Известно, что

элементарные функции непрерывны в своих областях определения; сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция; частное от деления двух непрерывных функций является непрерывной функцией во всех тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля.

Точка х0 называется точкой разрыва функции, если не выполнено одно из трёх условий, входящих в определение непрерывной функции.

Точки разрыва непрерывности функций классифицируются следующим образом:

точка х0 - точка устранимого разрыва функции y = f(x), если

;

точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют неравные между собой односторонние конечные пределы функции:

;

точка разрыва х0, не являющаяся точкой устранимого разрыва или разрыва первого рода называется точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относятся также точки, в которых при х → х0 - 0 или при х → х0 + 0 функция f(x) является бесконечно большой.

Пример 8. Найти точки разрыва функций и указать их характер:

Решение.

а) функция не определена в точке х = 2. Поэтому х = 2 - точка разрыва функции. Найдём

Таким образом, функция имеет устранимый разрыв. Полагаем f(2) = 4;

б) точкой разрыва функции является точка х = 1. Найдём односторонние пределы функции, учитывая, что

Поэтому имеем

По приведённому выше определению в точке х = 1 функция имеет разрыв первого рода;

в) функция не определена в точке х = 2. Находим

Тогда

И потому х = 2 - точка бесконечного разрыва функции (разрыв второго рода). Найдём

Замечание. Характер разрыва функции ясен уже из поведения функции при х → 2 + 0. Тем не менее, поведение функции слева от точки разрыва (при х → 2 - 0) также представляет интерес;

г) функция разрывна при х = 0. При х → 0 дробь является бесконечно большой. Поэтому не существует. Следовательно, х = 0 - точка разрыва второго рода.

Пример 9. Задана функция и два значения аргумента: х1 = 0 и х2 = - 1. Требуется:

установить, является ли функция непрерывной или разрывной для этих значений аргумента; в случае разрыва функции найти её левый и правый пределы; сделать схематический чертёж.

Решение.

1. Проверим, является ли функция непрерывной в точке х1 = 0. Для этого найдём . Значение у(0) = 3 совпадает со значением предела. Поэтому х1 = 0 - точка непрерывности функции.

2. В точке х2 = - 1 не выполнено первое из условий в определении непрерывной функции: функция не определена при х = - 1, поскольку знаменатель дроби обращается в ноль. Поэтому в точке х = х2 = - 1 функция не является непрерывной.

Найдём односторонние пределы:

Следовательно, х2 = - 1 - точка разрыва второго рода (точнее, точка бесконечного разрыва).

3). Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, за исключением точки х = - 1. Выясним поведение функции при х → ∞: . Найдём точку пересечения графика функции с осью Оу, положив в выражении функции х = 0. Тогда у = 3.