Методические указания к выполнению типового расчёта «Предел функции» (стр. 1 )

министерство  путей  сообщения

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

, ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ  УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЁТА

«ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ»

Ростов-на-Дону

2001

УДК 512.2(075.6)

Методические указания к выполнению типового расчёта «Предел функции» /, , ; Рост. гос. ун-т путей сообщения. Ростов н/Д, 2001. 28 с.

Содержатся необходимые теоретические сведения по теме «Предел функции». Приводится подробное решение типичных задач.

Предназначены для выполнения типового расчёта для студентов первого курса дневного факультета всех специальностей.

Одобрено к изданию кафедрой «Высшая математика 1» РГУПСа.

Ил. 6.  Библиогр. 4 назв.

       Рецензенты: канд. физ.-мат. наук (РГУ);

                        канд. техн. наук (РГУПС)

Методические указания к выполнению типового расчёта «Предел функции»

Редактор

Техническое редактирование и корректура

Подписано к печати 25.12.2001 г. Формат 64×84/16

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,63

Уч.-изд. л. 1,55. Тираж 100 экз. Изд. № 000. Заказ № 000.

Ростовский государственный университет путей сообщения

Лицензия ЛР № 65 - 54 от 01.01.2001 г.

Резография РГУПС. Лицензия ПЛД № 65 - 10 от 01.01.2001 г.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. им. Ростовского стрелкового полка народного ополчения, 2

СОДЕРЖАНИЕ

1. Предел  функции,  его геометрическое истолкование. Ограниченность функции, имеющей предел

2. Теоремы о пределах

3. Предел функции при х → ∞ 

4. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их свойства

5. Односторонние пределы функций

6. Неопределённость вида

7. Неопределённость  вида

8. Неопределённость вида  ∞ - ∞

9. Некоторые замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции

10. Второй замечательный предел. Число е

11. Непрерывность  функции

Рекомендуемая литература

1.  ПРЕДЕЛ  ФУНКЦИИ,  ЕГО  ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ  ИСТОЛКОВАНИЕ. ОГРАНИЧЕННОСТЬ  ФУНКЦИИ,  ИМЕЮЩЕЙ  ПРЕДЕЛ

       Число А называется пределом функции f(x) при х → х0 (или в точке х0), если для каждого  ε  > 0 существует такое δ  > 0, что для всех  х, удовлетворяющих условию 0 < | x - x0 | < δ,  вытекает неравенство  | f(x) - A | < ε.

Используются записи:   или  f(x) → A  при  х → х0.

Из определения предела функции следует, что

1). - ε  < f(x) - A < ε  при - δ  < x - x0 < δ, то есть

A - ε  < f(x) < A + ε  при  x0 - δ  < x  < x0 + δ ;                (1)

2).  ,  где  C = const.

Оценки (1) означают: для всех точек  х, отстоящих от точки  х0 не далее, чем на δ, точка графика функции y = f(x) лежит внутри горизонтальной полосы, шириной 2ε, расположенной между горизонтальными прямыми  y = A - ε  и  y = A + ε  (рис. 1).

Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.

Функция называется ограниченной при  х → х0  (в окрестности точки  х0),  если существуют такие числа В и С, В < С, что в некотором интервале, содержащем точку х0, выполняются неравенства

B < f(x) < C.                                (2)

В противном случае говорят, что  f(x) - функция, неограниченная при  х → х0.

       Например, для любых действительных значений переменной величины х известна оценка  - 1 ≤ sinx ≤ 1. Поэтому в окрестности любой точки числовой оси  f(x) = sinx - ограниченная функция (рис. 2).

       

Функция  f(x) = tgx  является неограниченной в окрестности любой из точек последовательности чисел (рис. 3).

       Оценка (1), в частности, означает, что всякая функция, имеющая предел при  х → х0,  является ограниченной в некоторой окрестности точки  х0.

Пример 1. Доказать, что

                               .                                        (3)

Решение. Функция определена на всей числовой оси, за исключением точек  х = 0  и  х = 3. В условиях примера в соответствии с определением предела функции х0 = 3,  А = 2. Выберем произвольное положительное число ε  и для  х ≠ 3  преобразуем абсолютную величину разности  | f(x) - A |:

.

Возьмём любой интервал, содержащий точку х = 3,  например, интервал (2; 4). Тогда  для  ∀ х  ∈ (2; 4)  имеем  неравенство  |  x  | > 2 ⇒ ,  и  поэтому  , если  | x - 3 | < 2ε, то есть при  | x - 3| < δ, где  δ = 2ε. Согласно определению предела функции, равенство (3) доказано.

2. ТЕОРЕМЫ  О  ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1 (о пределе суммы (разности) и произведения двух функций)

       Если  функции  f(x) и φ(x)  имеют пределы  в  точке  х = х0,  то функции f(x) ± φ(x)  и  f(x) ⋅ φ(x)  тоже имеют пределы в указанной точке и

,                (4)

.                (5)

       Следствием соотношения (5) является равенство

,                                (6)

где С - любое число.

Теорема 2 (о пределе частного)

       Если функции f(x) и φ(x) имеют производные в точке х0 и , то функция  также имеет предел в точке  х0  и

.                                (7)

       Теорема 3 (о пределе сложной функции)

       Пусть существуют (φ(x) ≠ u0 при х ≠ х0) и . Тогда в точке х0 существует предел сложной функции  y = f (φ(x)) и

.                                (8)

       При вычислении пределов равенство (8) даёт возможность переходить от переменной  х  к переменной  u = φ(x),  когда в этом возникает необходимость.

3.  ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПРИ х → ∞

Запись означает существование предела функции f(x) при x → ∞. Это значит, что по любому числу ε  > 0 найдётся такое число Δ > 0, что