Методические указания к выполнению типового расчёта «Предел функции» (стр. 3 )

= 2(x2 - 4) = 2(x - 2)(x + 2). Имеем

;

в) находим: . Поэтому в примере в) имеется неопределённость . Числитель дроби  в) разложим на простые множители: х2 + 3х = х(х + 3). Затем числитель и знаменатель умножим на выражение , сопряжённое знаменателю. Тогда получим

.

8.  НЕОПРЕДЕЛЁННСТЬ ВИДА  ∞ - ∞

Вычисление предела разности (суммы) двух бесконечно больших функций при х → х0  приводит к неопределённости вида  ∞ - ∞. Чтобы раскрыть такую неопределённость, её с помощью элементарных преобразований приводят к виду или .

Пример 4. Найти пределы:

а)  ,  б)  .

Решение. Выражения и являются бесконечно большими функциями при х → - ј, то есть имеется неопределённость вида (∞ - ∞).

Произведём элементарные преобразования:

.

Здесь  -16х - 4 → 0, 1 + 4х → 0 при  х → - ј,  то есть, получена неопределённость вида . Далее сокращаем числитель и знаменатель на (1 + 4х):

;

б) имеем неопределённость вида (∞ - ∞). Преобразуем выражение, избавившись в нём от иррациональности умножением и делением на сопряжённую величину:

(в предпоследней дроби числитель и знаменатель разделены почленно на х2). Так как

, то

.

9.  НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ

Для раскрытия неопределённостей вида используются следующие замечательные пределы:

;                                                                        (10)

;                                                                (11)

,                                                                (12)

где α(x) - бесконечно малая функция при  х → х0 (х → ∞).

Далее следуют формулы, являющиеся следствием формул (10):

;                                                                        (13)

;                                                                (14)

       .

При  b = e  равенство (12) принимает вид

       .                                                                        (15)

       Две бесконечно малые при  х → х0 (х → ∞) функции  f(x) и φ(x) называются эквивалентными, если . Эквивалентные функции обозначаются  f(x) ~  φ(x).

       В теории пределов важную роль играет следующая теорема.

Теорема 3. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти функции заменить эквивалентными.

На основании этой теоремы и формул (10) - (15) заключаем, что при α → 0

sinα ~ α,  tgα ~ α,  arcsinα ~ α,  arctgα ~ α.                (16)

ln(1 + α) ~ α,  bα - 1 ~ lnb,  eα - 1 ~ α .                                (17)

Использование эквивалентных бесконечно малых функций существенно упрощает определение пределов.

Пример 5. Найти пределы:

Решение. Вычисление пределов 5 сводится к раскрытию неопределённости вида с использованием соотношений эквивалентности (16).

а) на основании соотношений (16) имеем при х → 0. Используем эту эквивалентность и избавимся от иррациональности в знаменателе:

;

б) применяя формулу 1 - cos2α = 2sin2α, преобразуем (см. (16)) выражение в числителе примера б):

при х → 0. Поэтому

;

в) для того чтобы воспользоваться соотношениями эквивалентности (16) введём новую переменную . При этом a → 0, если . Тогда имеем

~ 2α .

Далее используем формулу :

~ ,

поэтому

;

г) применяя известные формулы тригонометрии: и  , преобразуем выражение под знаком предела:

.

Для того, чтобы воспользоваться эквивалентными соотношениями (16), введём новую переменную , α → 0  при  . Тогда выражение под знаком предела в примере г)