Импульсные и цифровые системы управления (стр. 10 )

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости импульсной системы становится расположение корней уравнения  (52) в левой полуплоскости плоскости. Для этого могут использоваться известные критерии устойчивости непрерывных систем (Рауса, Гурвица, Михайлова и др.). Недостатком такого подхода является трудность применения этих критериев для систем высокого порядка из-за громоздких преобразований.

Пример. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид 

Оценим устойчивость такой системы. С использованием преобразования (51) характеристическое уравнение примет вид

Преобразовав левую часть, окончательно получим

Для оценки расположения корней последнего уравнения применим критерий Гурвица. Составим определитель Гурвица

Легко видеть, что ( - главные диагональные миноры определителя), т. е. импульсная система устойчива.

2. Критерий Шура-Кона.

Для оценки устойчивости может использоваться также алгебраический критерий Шура - Кона. Рассмотрим характеристическое уравнение (50) и составим из его элементов следующую последовательность матриц:

Составим из матриц и матрицу размерности  (2k×2k) 

,  k=1,2,…,n.

Для обеспечения устойчивости импульсной системы с характеристическим уравнением (50) необходимо и достаточно, чтобы число перемен знака в последовательности

было равно n, т. е. степени характеристического уравнения. Иначе, должно выполняться условие:

        для нечетных k ;

       для четных k.

Особенностью использования критерия Шура - Кона и его существенным неудобством является необходимость вычисления определителей высокого порядка.

Рассмотрим пример применения критерия Шура – Кона для исследования устойчивости импульсной системы. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

.

Составляем последовательно:

   

  ,

  ,

  , 

 

  0,2841,

 

 

 

Используя критерий Шура-Кона, можно заключить, что система с данным характеристическим уравнением устойчива.

Лекция № 11

Тема:

Частотные критерии устойчивости импульсных систем.

План лекции:

1. Аналог критерия Михайлова.

2. Анализ устойчивости с помощью критерия Найквиста.

3. Анализ устойчивости импульсной системы с помощью ЛАФПЧХ.

.

1. Аналог критерия Михайлова.

Частотные критерии устойчивости удобно применять к системам высокого порядка. Одним из распространенных критериев устойчивости непрерывных систем является критерий Михайлова. Для импульсных систем можно сформулировать аналог этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой импульсной системы имеет вид 

 

В соответствии с принципом аргумента [3] число  корней характеристического многочлена, лежащих внутри единичной окружности, равно числу полных оборотов вектора при обходе точкой z единичной окружности, т. е.

  .

Очевидно, что если m = n, то все корни удовлетворяют соотношению

 

и система устойчива.

Наибольшую сложность при использовании этого критерия представляет нахождение отображения единичной окружности на плоскости  B. При этом рассматривать многочлен B(z) в функции z неудобно, так как аргумент z меняется сложным образом. Проще перейти к переменной по формуле . При этом движению точки z по единичной окружности соответствует изменение в следующих пределах:

 

Таким образом, рассматривается функция и строится ее годограф в пределах . Так как имеет место соотношение

  ,

то годограф при изменении в пределах симметричен относительно оси абсцисс. Отсюда следует, что можно рассматривать лишь полуветвь годографа, соответствующую половине исходного диапазона . При этом приращение аргумента функции также уменьшится вдвое, т. е.  ; 

Примеры годографов, соответствующих устойчивым системам при  n  =1,2, 3, показаны на рис.25.

Рис.25.

2. Анализ устойчивости с помощью критерия Найквиста.

Анализ устойчивости импульсных систем может быть выполнен также с помощью критерия Найквиста, который основан на использовании частотных характеристик разомкнутой системы. Рассмотрим простейшую схему замкнутой системы, представленную на рис.10. Пусть - частотная характеристика разомкнутой импульсной системы. Приведем формулировку критерия Найквиста без доказательства.

Пусть характеристическое уравнение разомкнутой импульсной системы имеет l  корней вне единичного круга плоскости z.  Для того, чтобы была устойчива замкнутая импульсная система, необходимо и достаточно, чтобы годограф при изменении ω от 0 до охватывал точку ) на комплексной плоскости W ровно l/2 раз, т. е.

  ,

  .

Пусть разомкнутая система устойчива. Тогда годограф 1 на рис.26 соответствует системе, устойчивой в замкнутом состоянии, а годограф 2 - системе, неустойчивой в замкнутом виде.

Рис. 26

Случай, когда передаточная функция W(z) разомкнутой системы имеет полюса на единичной окружности плоскости  z, относится к числу особых. В этом случае необходимо дополнить годограф частотной характеристики разомкнутой системы дугой бесконечного радиуса аналогично тому, как это делалось при исследовании непрерывных систем. Обычно полюсами, лежащими на единичной окружности, оказываются полюса  z=1, что соответствует наличию полюсов  p=0  (интегрирующих звеньев) в передаточной функции ПНЧ. При этом годограф АФЧХ разомкнутой системы дополняется дугой бесконечного радиуса, охватывающей столько квадрантов, каков порядок полюса  z=1.