Импульсные и цифровые системы управления (стр. 7 )

Графики АФЧХ, построенные по приведенным зависимостям, показаны на рис.17 (здесь  ).

Рис.17

Из рис.17 видно, что частотные характеристики импульсных систем существенно отличаются от АФЧХ непрерывных систем, изучаемых в курсе "Основы ТАУ".

3. Свойства частотных характеристик импульсных систем.

Рассмотрим некоторые свойства частотных характеристик импульсных систем.

1.Вследствие периодичности экспоненты частотная характеристика дискретной системы является периодической функцией частоты с периодом . Поэтому АФЧХ импульсной системы полностью определяется значениями в диапазоне (в основной полосе). Периодичность АФЧХ приводит к тому, что импульсная система одинаково пропускает сигналы и , так как в обоих случаях на выходе ИИЭ существуют одинаковые последовательности импульсов. Это свойство импульсных систем поясняет рис.18.

Рис. 18

2. Амплитудно-частотная характеристика является четной функцией частоты, т. е.

Вследствие четности АЧХ и периодичности достаточно знать значения АЧХ в диапазоне .

Фазово-частотная характеристика является нечетной функцией частоты, т. е. .

Она также может быть задана своими значениями в диапазоне .

3. При частотах , где частотная характеристика дискретной системы всегда принимает действительные значения:

или

  .

Это свойство выполняется за исключением случаев, когда передаточная функция ПНЧ имеет полюс порядка m. Тогда передаточная функция W(z) имеет полюс z=1  того же порядка m и при .

Лекция № 7

Тема:

Вычисление частотных характеристик дискретных систем.

План лекции:

1. Псевдочастотные характеристики импульсных систем.

2. Методы построения частотных и псевдочастотных характеристик дискретных систем.

1. Псевдочастотные характеристики импульсных систем.

Помимо рассмотренных АФЧХ, для дискретных систем оказывается возможным ввести характеристики, которые по методике построения и по своим свойствам схожи с ЛАФЧХ непрерывных систем. Такие характеристики называются псевдочастотными (ПЧХ).

Как отмечалось выше, АФЧХ дискретной системы рассматривают в диапазоне частот где - частота квантования. Чтобы использовать привычную методику построения ЛАФЧХ, введем псевдочастоту

  .  (41) 

Зависимость, связывающая ω и λ, иллюстрируется рис.19, из которого видно, что изменению частоты ω в диапазоне соответствует изменение псевдочастоты λ в диапазоне .

Рис. 19

Рассмотрим передаточную функцию дискретной системы . Заменим переменную z на переменную w по формуле

    (42)

Такое преобразование переменных называется дробно-линейным или билинейным. После замены переменных по формуле (42) передаточная функция преобразуется в передаточную функцию

  .

Частотные характеристики дискретных систем получают подстановкой в z - передаточную функцию величины . Возникает вопрос, на какую величину следует заменить переменную w в передаточной функции  , чтобы получить те же частотные характеристики системы.

Из зависимости (42) получим

  .

При  ,  имеем

  .

Таким образом, частотные характеристики дискретной системы в функции псевдочастоты λ могут быть получены заменой в  w-передаточной функции переменной w на jλ;

  .

Связь псевдочастоты с частотой задается соотношением (41),причем на малых частотах эти величины практически совпадают. Частотная характеристика в функции псевдочастоты λ называется псевдочастотной характеристикой.

По отношению к переменной z передаточные функции W(z)-это дробно-рациональные выражения. Следовательно, по отноше­нию к переменной w они также будут дробно-рациональными, т. е. ПЧХ есть дробно-рациональная функция jλ , причем λ изменяется в пределах от 0 до . Таким образом, ПЧХ дискретных систем имеют те же асимптотические свойства, что и АФЧХ непрерывных систем.

Наряду с АФЧХ могут быть построены логарифмические псевдочастотные характеристики (ЛПЧХ) дискретных систем. Это позволяет применять известные частотные методы анализа и синтеза непрерывных систем и для дискретных систем.

2. Методы построения частотных и псевдочастотных характеристик дискретных систем.

Рассмотрим некоторые возможные способы построения АФЧХ дискретных систем. Заметим, что АФЧХ дискретных систем в отличие от АФЧХ непрерывных систем никогда экспериментально не снимаются. Они строятся либо по частотной характеристике ПНЧ, либо по Z-передаточной функции системы W(z) .

Если ПНЧ дискретной системы задана АФЧХ, то АФЧХ импульсной САУ может быть определена по формулам (36), (39).При этом можно либо сначала найти действительную и мнимую частотные характеристики и затем определить , либо в формулах (36), (39) выполнить непосредственное векторное сложение. Рассмотрим первый способ. Перепишем формулу (39):

  .

При известных действительной и мнимой частотных характеристиках ПНЧ P(ω), Q(ω) получим

.

Обычно в этих соотношениях удается ограничиться конечным небольшим числом слагаемых, что сильно упрощает процесс вычислений. По известным характеристикам можно построить амплитудно - и фазо-частотные характеристики дискретной системы:

  .

При непосредственном векторном сложении в правой части равенства (39) удерживается конечное число членов и выполняется их графическое суммирование. Пусть, например, учитываются слагаемые при k=M, - M+1 , …,0,1,… ,M. Тогда получим

  .

Кроме изложенных способов для построения АФЧХ дискретной системы может быть использована непосредственно ее Z - передаточная функция W(z). Логарифмические ПЧХ строятся по -передаточной функции совершенно аналогично тому, как строятся ЛАФЧХ непрерывных систем, с использованием тех же шаблонов для типовых звеньев. При этом возможно использование таблиц -преобразования [4] ,которое представляет собой результат последовательного применения к передаточной функции W(p) ПНЧ -преобразования и  -преобразования.