Импульсные и цифровые системы управления (стр. 5 )

    (22)

В случае, если передаточная функция ПНЧ содержит выражение 1-е-Tp, ее можно представить в виде

где - дробно-рациональная функция.

Тогда

и

    (23)

где - полюсы функции .

3. Пример вычисления Z –передаточной функции.

Найдем Z-передаточную функцию разомкну­той системы, состоящей из ИЭ с экстраполятором нулевого по­рядка и непрерывной части с передаточной функцией        .

Передаточная функция ПНЧ имеет вид

.

Для нахождения W(z) применим формулу (23):

.

Полюсы выражения           следующие:. 

Тогда получим

;

       

Отсюда следует

Этот же результат можно получить с помощью таблицы        -преоб­разования, а именно

.

Проводя разложение на простейшие дроби, найдем

Отметим некоторые свойства Z-передаточных функций. Передаточная функция есть дробно-рациональная функция z. При использовании модифицированного Z-преобразования числитель этой функции зависит от ε. Порядком передаточной функции назовем степень n ее знаменателя. Порядок дискретной передаточной функции равен степени знаменателя передаточной функции непрерывной части системы .

Полюсы Z-передаточных функций и связаны с полюсами передаточной функции непрерывной части и определяются соотношением

    (24)

Рассмотрим задачу определения реакции дискретной системы с передаточной функцией на входной сигнал . Определив Z-преобразование входного сигнала , запишем уравнение системы в изображениях:

    (25)

Таким образом, если Z-преобразование выходной величины известно, процесс на выходе может быть найден по формуле обратного Z-преобразования:

Для нахождения можно применить известную формулу

где - полюсы функций

Для вычисления обратного Z-преобразования, кроме того, может быть использовано разложение изображения в ряд Лорана [4]. Наконец, по известной Z-передаточной функции нетрудно составить соответствующее разностное уравнение импульсной системы. Пусть

Тогда уравнение (25) можно переписать в виде

Переходя к оригиналам и учитывая теорему о смещении аргумента решетчатой функции, получим

Это соотношение представляет собой разностное уравнение системы, с помощью которого можно рассчитать процесс на выходе дискретной САУ.

Лекция № 5

Тема:

Уравнения и передаточные функции замкнутых импульсных систем.

План лекции:

1. Уравнения и передаточные функции простейшей замкнутой импульсной системы.

2. Структурные преобразования в импульсных системах.

1. Уравнения и передаточные функции простейшей замкнутой импульсной системы.

Рассмотрим замкнутую систему с импульсным элементом в це­пи сигнала ошибки и единичной обратной связью. Структурная схема системы приведена на рис.10.

Рис.10

Запишем уравнение замыкания для дискретных моментов вре­мени t=nT, n=0,1,... 

  x[n]=f[n]-y[n].  (26)

Для получения уравнения замкнутой системы воспользуемся урав­нением разомкнутой системы

  .  (27)

Подставив уравнение (26) в формулу (27), получим

    (28)

Для получения передаточной функции замкнутой импульсной системы применим Z - преобразование к обеим частям уравнения (28). С использованием теоремы свертки получим

  ,

откуда

    (29)

Выражение

 

определяет передаточную функцию замкнутой импульсной системы для управляемой переменной по входному воздействию. Из урав­нения (29) и уравнения замыкания в изображениях

  X(z)=F(z)-Y(z)

получим для изображения ошибки

  .  (30)

Выражение

 

представляет собой передаточную функцию замкнутой системы по ошибке.

Пусть

 

Найдем передаточную функцию замкнутой импульсной системы по отношению к сигналу g(t) на выходе звена с передаточной функцией (рис.11). Выражение, связывающее переменные x(t) и g(t) в дискретные моменты времени имеет вид

 

где - весовая характеристика звена с передаточной функцией .

Рис.11

Применив Z-преобразование к обеим частям последнего уравнения, получим

  ,

где

 

и, с учетом формулы (30), найдем

  .

Таким образом, искомая передаточная функция имеет вид

 

Пример. Найти передаточные функции замкнутой систе­мы и . Приведенная непрерывная часть системы та же, что и в примере предыдущей лекции.

В результате решения предыдущего примера было найдено

 

Тогда

  ;

  .

2. Структурные преобразования в импульсных системах.

При анализе сколько-нибудь сложных импульсных САУ невоз­можно обойтись без структурных преобразований, сопровождающихся определением эквивалентных передаточных функций отдельных элементов цепи. Правила структурных преобразований дискретных систем имеют отличия от правил преобразования непрерывных си­стем, вызванные наличием импульсных элементов. Рассмотрим не­которые возможные структуры импульсных систем.