Импульсные и цифровые системы управления (стр. 4 )

                                ,

cвязывающая модифицированное Z-преобразование выходного сигнала и обычное  Z-преобразование входной переменной. При изменении параметра   от 0 до 1 зависимости (13), (14) позволяют определить значение выходной величины в любой промежуточный момент времени.

Лекция № 4

Тема:

Вычисление Z-передаточных функций.

План лекции:

1. -преобразование дробно-рациональных функций.

2. Учет экстраполятора при вычислении Z - передаточных функций.

3. Пример вычисления Z –передаточной функции.

1. -преобразование дробно-рациональных функций.

Рассмотрим вычисление Z - передаточной функции простей­шего соединения (см рис 8 ). В соответствии с формулой (12) и свойствами Z - преобразования Z - передаточная функция w(z) может быть найдена по известной весовой функции ПНЧ w(t) или по ее передаточной функции W(p). Связь между передаточными функциями        W(z) и W(p) задается - преобразованием с последующей заменой . Обозначим операцию выполнения - преоб­разования с заменой через . Тогда 

    (15)

Приведем таблицу        -преобразования для некоторых часто встречающихся функций W(p) [l] .

W(p)	W(z)
	,
	,

Так как - преобразование обладает свойством линейно­сти, то в случае, если W(p) - дробно-рациональное выражение, вычисление Z - передаточных функций можно проводить следующим образом:

Передаточную функцию W(p) разложить на простейшие дроби

  .

2.Для каждой простейшей дроби с помощью таблицы найти  - преобразование, т. е.

  .

По теореме линейности -преобразования записать и провести необходимые преобразования.

2. Учет экстраполятора при вычислении Z - передаточных функций.

Однако предположение о том, что передаточная функция W(p) ПНЧ есть дробно-рациональное выражение, не всегда выполняется. Как отмечалось ранее

  ,

где передаточные функции формирователя и собствен­но непрерывной части соответственно. Если обычно явля­ется дробно-рациональной функцией, то будет таковой лишь при некоторых упрощающих предположениях (см. [4] ). Обычно является трансцендентной функцией p, например, для экстраполятора нулевого порядка

  .

Рассмотрим этот случай и определим для него порядок нахождения Z-передаточной функции W(z). Пусть - дробно-рациональная функция

  ,  (16)

где , - многочлены степени m и n соответственно.  Пусть- полюсы передаточной функции (16). Счи­тая, что все полюсы первого порядка, разложим выражение (16) на простейшие дроби:

  .

Тогда

 

или

  .

В соответствии со свойствами -преобразования множитель может быть вынесен за знак преобразования (см. курс “Математические основы ТАУ” или [6,прил.2]). Тогда

    (17)

Найдем        . Очевидно, что

  .

Пользуясь таблицей - преобразования с учетом теоремы линей­ности, получим

    (18)

Подставив выражение (18) в формулу (17), найдем

  ,  (19)

т. е. получена формула для вычисления  Z-передаточной функ­ции W(z) разомкнутой системы. Отметим, что при , а также при наличии кратных полюсов в формуле возникают неопре­деленности. Они могут раскрываться обычным способом, по прави­лу Лопиталя. Кроме того, формулу (17)) можно записать в виде

 

Здесь под знаком  -преобразования стоит дробно-рацио­нальная функция. Определив так, как излагалось выше (исполь­зуя разложение выражения на простейшие дроби), можно легко найти Z - передаточную функцию разомкнутой системы.

В общем случае для определения Z-передаточной функции W(z) можно использовать зависимость, полученную ранее в курсе «Математические основы ТАУ»:

    (20)

где si – полюсы передаточной функции W(s) ПНЧ ().

Следует, однако, иметь в виду, что формула (20) справедлива, если выполняется условие

    (21)

Например, если передаточная функция ПНЧ имеет вид и степень многочлена превосходит степень не менее чем на 2 порядка, то условие (21 выполняется, и тогда из зависимости (20) получим