Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Архангельский государственный технический университет»
Институт информационных технологий
Кафедра прикладной математики
УТВЕРЖДАЮ
проректор по учебной работе
______________________
«________»_______________________2009 г.
Программа государственного экзамена
Направление подготовки 230400 «Прикладная математика»
Специальность 230401.65 «Прикладная математика»
Архангельск
2009
Математический анализ
Предел числовой последовательности. Свойства пределов последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства. Пределы функций в бесконечности и в точке. Свойства пределов функций. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Первый и второй замечательный пределы. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Производная и дифференцируемость функции, свойства производных. Понятие дифференциала. Правила дифференцирования функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правила Лопиталя. Формула Тейлора. Неопределенный интеграл, его свойства. Основные методы интегрирования. Интегрирование дробно-рациональных, тригонометрических, иррациональных функций. Суммы Дарбу, их свойства. Определенный интеграл. Свойства интегралов, выражаемые равенствами и неравенствами. Приложения определенного интеграла: площадь фигуры, объем тела вращения, длина дуги. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости рядов. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Непрерывность предельной функции и суммы ряда. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Фурье. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций, для функций с произвольным периодом. Ряд Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье. Функции нескольких переменных. Дифференцируемые функций, их свойства. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Кратные интегралы, их свойства. Сведение кратных интегралов к повторным. Приложения кратных интегралов. Криволинейный интеграл, его свойства. Формула Грина.
Теория функций комплексного переменного
НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Производная функции комплексного переменного. Критерий существования производных Интеграл от функции комплексного переменного. Интегральные теоремы Коши и интегральная формула Коши. Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация. Признаки особых точек Вычеты, основная теорема о вычетах. Приложения к вычислению интегралов функции комплексного и действительного переменного.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Линейные уравнения и уравнения Бернулли. Уравнения Риккати. Уравнения в полных дифференциалах и допускающие интегрирующий множитель. Задача Коши, теорема о существовании и единственности ее решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Формула общего решения. Фундаментальная система решений. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Теорема об общем решении. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Системы линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость по Ляпунову решений системы дифференциальных уравнений. Устойчивость по первому приближению. Классификация точек покоя линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения в частных производных
Классификация уравнений в частных производных второго порядка и приведение их к каноническому виду. Вывод уравнения колебаний струны. Малые свободные колебания бесконечной струны. Метод Даламбера Метод Фурье для уравнения колебаний однородной струны. Вывод уравнения теплопроводности. Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.
Алгебра
Группы, кольца, поля. Примеры. Простейшие свойства. Комплексные числа. Различные формы записи комплексных чисел. Извлечение корней из комплексных чисел. Определители n-го порядка. Свойства и применение определителей к исследованию и решению систем линейных уравнений. Линейные пространства: определение, примеры. Общие свойства элементов линейного пространства, связанные с понятием линейной зависимости (независимости). Базис и размерность линейного пространства. Показать, что любой элемент линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных элементов, причем единственным образом. Изоморфные линейные пространства, их свойства. Линейные оболочки, их простейшие свойства. Теорема о размерности линейной оболочки. Неравенство Коши-Буняковского, его вид в различных евклидовых пространствах. Линейные операторы, свойство инвариантности определителя матрицы линейного оператора. Собственные значения и собственные элементы линейного оператора, действующего в унитарном пространстве: существование, вычисление. Самосопряженные операторы и их спектральное разложение. Функции от самосопряженных операторов. Прямая и плоскость в пространстве и их уравнения. Взаимные расположения прямых и плоскостей. Кривые второго порядка. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Программу составили:
Заведующая кафедрой прикладной математики
Доцент кафедры прикладной математики
Старший преподаватель кафедры прикладной математики
Программа рассмотрена на заседании кафедры прикладной математики,
протокол № 5 от 01.01.01 г.
Заведующая кафедрой прикладной математики
